数学I / 数と式

整式の整理と降べきの順

★★ 標準整式降べきの順

問題

整式 $A = 2 x^{2} - 3 x y + 5 y^{2} - x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + 6 x - 8$ について、次の問いに答えよ。

(1) 同類項をまとめて $A$ を簡単にせよ。

(2) $A$ を $x$ に着目して降べきの順に整理せよ。また、そのときの $A$ の次数と定数項を答えよ。

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(1)は同じ種類の項を集めるだけ。(2)は『 $x$ に着目』— $x^{2}$ の項・ $x$ の項・ $x$ を含まない項に仕分ける( $y$ は数あつかい)。次数と定数項も『 $x$ について』で判断する。

解答・解説

方針

やることは2つ。まず同類項(同じ文字・同じ次数の項)をまとめて式を短くする。次に、 $x$ について降べきの順(次数の高い項から)に並べる。

(2)で $x$ について整理するときは、 $x$ を主役と見て、 $y$ だけの項は数の仲間(定数)としてあつかう。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この問題の作業は2つある。「同類項をまとめる」と「並べ替える」だ。

同時にやろうとするとミスが出る。先にまとめて、あとで並べる。工程を分けるのが出発点になる。

(2)で「 $x$ に着目」と言われたら、 $y$ は数の仲間として扱う。主役を決めてから手を動かすと、迷いが消える。

(1) 同類項をまとめる。 $x^{2}$ の項: $2 x^{2} - x^{2} = x^{2}$ 。 $x y$ の項: $- 3 x y + 4 x y = x y$ 。 $y^{2}$ の項: $5 y^{2} - 2 y^{2} = 3 y^{2}$ 。残りはそのまま。

$A = (2 x^{2} - x^{2}) + (- 3 x y + 4 x y) + (5 y^{2} - 2 y^{2}) + 6 x - 8 = x^{2} + x y + 3 y^{2} + 6 x - 8$

(2) $x$ について整理する。 $x^{2}$ の項は $x^{2}$ 、 $x$ の項は $x y + 6 x = (y + 6) x$ 、 $x$ を含まない項は $3 y^{2} - 8$ 。まとめて

$A = x^{2} + (y + 6) x + 3 y^{2} - 8$

まとめ: $x$ の係数が $y + 6$ とひとまとまりになる点、 $3 y^{2} - 8$ が( $y$ が入っていても) $x$ から見れば定数になる点がポイント。

発展 — 一歩先へ。 「どの文字に着目するか」で式の顔が変わる、という見方はこの先ずっと使う。同じ $A$ でも $y$ に着目すれば $3 y^{2} + x y + (x^{2} + 6 x - 8)$ となり、1次の係数は $x$ 、定数項は $x^{2} + 6 x - 8$ に変わる。

因数分解で「次数の低い文字について整理する」技や、数学IIの整式の割り算は、すべてこの「主役の文字を決める」目から始まる。

答

(1) $x^{2} + x y + 3 y^{2} + 6 x - 8$ (2) $x^{2} + (y + 6) x + 3 y^{2} - 8$ 、次数は $2$ 、定数項は $3 y^{2} - 8$

別解

同類項をまとめる作業は、「種類ごとの箱に仕分ける」と考えると目で追いやすい。

$x^{2}$ の箱、 $x y$ の箱、 $y^{2}$ の箱、 $x$ の箱、数だけの箱。この5つを用意して、項を順に放り込む。

$x^{2}$ の箱: $2 x^{2}$ と $- x^{2}$ で $x^{2}$
$x y$ の箱: $- 3 x y$ と $+ 4 x y$ で $x y$
$y^{2}$ の箱: $5 y^{2}$ と $- 2 y^{2}$ で $3 y^{2}$
$x$ の箱: $6 x$
数の箱: $- 8$

箱の中身を並べれば $x^{2} + x y + 3 y^{2} + 6 x - 8$ になる。仕分けてから足すので、符号の見落としが起きにくい。

(2)の降べきの順も同じ要領だ。今度は「 $x$ が2次の棚・1次の棚・0次の棚」の3段に置き直す。 $x y$ は $x$ が1次だから1次の棚へ。 $3 y^{2}$ と $- 8$ は $x$ を含まないから0次の棚に入る。

ポイント

まず同類項をまとめて式を短くする
$x$ に着目 → $x^{2}$ ・ $x$ ・ $x$ を含まない項(定数)に分ける
$y$ が入った項も、 $x$ から見れば定数あつかい

よくある間違い

(2)で $x$ の1次の項 $x y$ と $6 x$ を $(y + 6) x$ とまとめず、バラバラのまま並べる
同類項をまとめるとき符号を間違える( $- 3 x y + 4 x y$ を $- x y$ とするなど)
(2)の定数項を $- 8$ とだけ答える。 $x$ に着目したら $y$ だけの項も定数の仲間なので、定数項は $3 y^{2} - 8$ 全体になる