交代式の因数分解(次数と対称性で決める)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 展開で押し切るのは損。まず「$a=b$ を入れると $0$ になる」ことに気づきたい($a=b$ なら第1項と第2項が打ち消し、第3項も $c^3(a-b)=0$)。

$a=b$ で $0$ なら因数 $(a-b)$ をもつ。この式は $2$ 文字を入れ替えると符号が変わる交代式だから、$(a-b)(b-c)(c-a)$ でまるごと割り切れる。

これで骨組みが決まる。もとは $4$ 次、$(a-b)(b-c)(c-a)$ は $3$ 次だから、残りは $1$ 次の対称式 $k(a+b+c)$。係数 $k$ は都合のよい $1$ 点を代入して決める。

① 因数を見つける。 $a=b$ を代入すると

$$b^3(b-c)+b^3(c-b)+c^3(b-b)=b^3(b-c)-b^3(b-c)+0=0$$

よって $(a-b)$ で割り切れる。この式は交代式だから、同様に $(b-c)$、$(c-a)$ でも割り切れる。したがって

$$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)\cdot Q$$

と書ける。

② 残りの因数 $Q$ の形を絞る。 もとの式は各項が $4$ 次(合計次数 $4$)、$(a-b)(b-c)(c-a)$ は $3$ 次だから、$Q$ は $1$ 次。しかも全体は交代式の性質を保つので、$Q$ は $a,b,c$ について対称な $1$ 次式、すなわち $Q=k(a+b+c)$($k$ は定数)に限られる。

③ 係数 $k$ を決める。 適当な値を代入して比べる。$a=0,b=1,c=2$ とすると

• 左辺 $=0+1\cdot (2-0)+8\cdot (0-1)=2-8=-6$
• $(a-b)(b-c)(c-a)=(-1)(-1)(2)=2$、$a+b+c=3$

よって右辺 $=2\cdot k\cdot 3=6k$。$6k=-6$ より $k=-1$。したがって

$$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$

まとめ:交代式($2$ 文字の入れかえで符号が変わる式)は必ず $(a-b)(b-c)(c-a)$ で割り切れる。あとは次数と対称性で残りの因数の「形」を絞り、$1$ 点代入で係数を確定する。$12$ 項を展開して整理する腕力勝負より、はるかに速くて確実。

発展 — 一歩先へ。 $a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)$ は、どの $n$ でも交代式で $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。$n=3$ では残りが $-(a+b+c)$、$n=4$ では $-(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$。交代式を交代式で割ると対称式になる、という一般法則が、因数分解の見通しを与える。

別解

別解 — 因数を$1$つずつ「代入」で確定させる(苦手な人向け)。 いきなり交代式の理屈を使わず、素直に因数を$1$つずつ見つける。

$a=b$ を代入すると $0$ → 因数 $(a-b)$。$b=c$ を代入しても $0$ → 因数 $(b-c)$。$c=a$ でも $0$ → 因数 $(c-a)$。$3$ つの因数 $(a-b)(b-c)(c-a)$ が確定した。

もとの式は $4$ 次、この積は $3$ 次だから、残りは $1$ 次式。$a,b,c$ の対称性(実は交代式を交代式で割ると対称式)から、残りは $k(a+b+c)$ の形。

係数 $k$ は $1$ 点で決める。$a=0,b=1,c=2$ を代入すると、左辺 $=0+1\cdot 2+8\cdot (-1)=-6$、右辺 $=k\cdot (0-1)(1-2)(2-0)\cdot 3=k\cdot (-1)(-1)(2)\cdot 3=6k$。$-6=6k$ より $k=-1$。

よって $-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$。「交代式は $(a-b)(b-c)(c-a)$ で割れる」を知らなくても、$3$ 回の代入で因数を集めれば同じ答えに着く。