対称式の値(x+1/x から高次へ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^n+\frac{1}{x^n}$ の形を $s_n$ と名付けると、見通しが一気に開ける。

積 $\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)$ を展開すると、$x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}$ と $x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}$ が同時に現れる。つまり $s_{n+1}=t{s}_n-s_{n-1}$ — 隣り合う $s$ をつなぐ漸化式だ。

$s_1=t,s_2=t^2-2$ から出発して、はしごを1段ずつ登れば $s_3,s_4,s_5$ が順に手に入る。

① 土台。 $s_1=x+\frac{1}{x}=t$。$s_2=x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=t^2-2$。

② $s_3$。 $s_3=t{s}_2-s_1=t(t^2-2)-t=t^3-3t$。よって $x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t$。

③ $s_5$。 $$s_4=t{s}_3-s_2=t(t^3-3t)-(t^2-2)=t^4-4t^2+2,$$ $$s_5=t{s}_4-s_3=t(t^4-4t^2+2)-(t^3-3t)=t^5-5t^3+5t.$$ よって $x^5+\frac{1}{x^5}=t^5-5t^3+5t$。

まとめ 対称式 $s_n=x^n+\frac{1}{x^n}$ は $s_{n+1}=t{s}_n-s_{n-1}$ の漸化式で $t$ の多項式に。$s_3=t^3-3t,s_5=t^5-5t^3+5t$。数と式(対称式)と漸化式の融合。

発展 — 一歩先へ。 $s_n=x^n+\frac{1}{x^n}$ の列 $t,t^2-2,t^3-3t,t^4-4t^2+2,t^5-5t^3+5t,\dots$ は、実は $x=\cos \theta +i\sin \theta$ とおくと $s_n=2\cos n\theta$、$t=2\cos \theta$ — つまり「$\cos n\theta$ を $\cos \theta$ の多項式で表す」チェビシェフ多項式の親戚だ。数IIの3倍角の公式 $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$ が、$s_3=t^3-3t$ の中にそのまま透けて見える。

別解

二項定理で上から降ろす(漸化式を使わない)。 $t^5={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^5$ を二項定理でまるごと展開してしまう。

$$t^5=x^5+5x^3+10x+\frac{10}{x}+\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^5}=s_5+5s_3+10s_1$$

(展開の係数 $1,5,10,10,5,1$ が、外側から $s_5,s_3,s_1$ に組みになる。)同様に $t^3=s_3+3s_1$ だから $s_3=t^3-3t$。これを上の式に代入して

$$s_5=t^5-5s_3-10t=t^5-5(t^3-3t)-10t=t^5-5t^3+5t$$

漸化式(本解)は1段ずつ確実に登るはしご、二項展開は目的の $s_5$ へ天井から降りるロープ。5乗くらいまでなら二項定理が速く、もっと高次なら漸化式が安定する — 使い分けの感覚も込みで両方持っておきたい。