多変数の恒等式(1文字で整理して係数比較)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 文字を一気に展開すると項が多く、ミスしやすい。$1$ 文字($c$)を主役にして降べきに整理するのが確実だ。

両辺を $c$ について $c^2,c,$ 定数の順にそろえる。左辺・右辺それぞれで係数を書き出す。

$c^2$ の係数・$c$ の係数・定数項が左右で一致すれば、恒等式として証明完了。$3$ 文字の対称性に頼るより、$1$ 文字整理のほうが手が確実に動く。

① 右辺を $c$ について整理する。 $(a+b)(b+c)(c+a)$ のうち $c$ を含むのは $(b+c)(c+a)=c^2+(a+b)c+ab$。よって

$$(a+b)\{c^2+(a+b)c+ab\}=(a+b)c^2+(a+b{)}^{2}c+ab(a+b)$$

② 左辺を $c$ について整理する。 $ab+bc+ca=ab+(a+b)c$ を使うと

$$(a+b+c)\{ab+(a+b)c\}-abc$$

$$=(a+b)ab+(a+b{)}^{2}c+abc+(a+b)c^2-abc$$

$$=(a+b)c^2+(a+b{)}^{2}c+ab(a+b)$$

($+abc$ と $-abc$ が打ち消し合う点に注意。)

③ 見比べる。 左辺・右辺ともに $(a+b)c^2+(a+b{)}^{2}c+ab(a+b)$ で、$c^2$・$c$・定数のどの係数も一致する。よって等式は成り立つ。(証明終)

まとめ:多変数の恒等式は「$1$ 文字で整理して係数比較」。全部展開する腕力勝負より、次数ごとにそろえるほうが速くて確実。左辺の $-abc$ が、展開で生じる $+abc$ をちょうど打ち消すのがこの等式の急所。

発展 — 一歩先へ。 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)$ を $\ge$ の形にすると、相加相乗平均から $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$(正の数で)などの有名不等式が出る。対称式の恒等式は、そのまま不等式の証明の土台になる。基本対称式 $pq-r$ の形は、$3$ 次方程式 $t^3-p{t}^2+qt-r=0$ の係数と直結している。

別解

別解 — 基本対称式で両辺を書く(得意な人向けの高い視点)。 $p=a+b+c$、$q=ab+bc+ca$、$r=abc$(基本対称式)を使うと、恒等式が透ける。

左辺はそのまま $pq-r$。

右辺 $(a+b)(b+c)(c+a)$ を基本対称式で展開する公式は $(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r$(よく使う恒等式)。$a+b=p-c$ などとして丁寧に展開しても出る。

両辺とも $pq-r$。一致するので恒等式。

$c$ について整理する(本解)のは手を動かす確実な道、基本対称式で書くのは「そもそも両辺が同じ対称式の組合せ」だと見抜く道。$(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r$ は、$3$ 次方程式の解と係数や、対称式の計算で繰り返し使う基本公式だ。