部分分数分解(係数を恒等式で決める)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 恒等式の係数決定は、両辺に分母を掛けて多項式の等式にしてから、「うまい値の代入」で1文字ずつ仕留める。

分母を払った式は、どの $x$ でも成り立つ。そこで $x=-1$ を入れると、$B,C$ の項は係数 $(x+1)$ がゼロになって同時に消え、$A$ だけの方程式が残る。

$x=-2,-3$ でも同様。「各分母の根を代入すると、その項だけ生き残る」— 部分分数の係数は、この狙い撃ちで3連発するのが速い。

① 分母を払う。 両辺に $(x+1)(x+2)(x+3)$ を掛けると $$1=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2).$$ ② 代入して求める。

• $x=-1$:$1=A(1)(2)=2A$、よって $A=\frac{1}{2}$。
• $x=-2$:$1=B(-1)(1)=-B$、よって $B=-1$。
• $x=-3$:$1=C(-2)(-1)=2C$、よって $C=\frac{1}{2}$。

③ 結論。 $A=\frac{1}{2},B=-1,C=\frac{1}{2}$。すなわち $$\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{1/2}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1/2}{x+3}.$$

まとめ 分母を払った恒等式に $x=-1,-2,-3$ を代入すると $A,B,C$ が $1$ つずつ求まる。$A=\frac{1}{2},B=-1,C=\frac{1}{2}$。恒等式と係数決定の融合(数列の和などに直結)。

発展 — 一歩先へ。 この分解の真価は数列で発揮される。$x=k$ として $k=1$ から $n$ まで足すと、2段分解の形が望遠鏡式に潰れて ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$ が出る(数Bの定番)。また分子が定数でなく1次式でも、同じ代入法で係数が決まる — 部分分数は「積分・数列・恒等式」の3か所で再会する、コスパ最強の技術だ。

別解

隣どうしの積の差に割る(2段の部分分数)。 3連続の積は、2連続の積の差で書ける:

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{(x+3)-(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$

(通分すると分子が「外側の差 $=2$」になる。)よって

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}\right\}$$

あとは2連続の積を定番の $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ で開けば

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x+3}\right)$$

$A=\frac{1}{2},B=-1,C=\frac{1}{2}$ が読める。

代入法(本解)は係数を狙い撃ちする実戦の型。2段分解は「数列の望遠鏡和 $\sum \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$」でそのまま主役になる型で、この形の由来($A+C=-B$ で真ん中が倍)も見えてくる。