3文字の3乗の恒等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 恒等式の証明は、右辺の因数分解された形が「なぜその因数をもつか」を左辺から示すと見通しがよい。

左辺を $a$ の多項式とみて、$a=-b$ を代入してみる。$0$ になれば、因数定理から $(a+b)$ を因数にもつと分かる。左辺は $a,b,c$ について対称だから、同じ理由で $(b+c),(c+a)$ も因数だ。

左辺は3次、$(a+b)(b+c)(c+a)$ も3次。あとは定数倍を、退化しない1点で合わせれば確定する。

① $(a+b)$ が因数。 左辺を $F=(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3$ とし、$a=-b$ を代入する:

$$F=(0+c{)}^3-(-b{)}^3-b^3-c^3=c^3+b^3-b^3-c^3=0$$

よって $F$ は $(a+b)$ を因数にもつ。

② 対称性から3因数。 $F$ は $a,b,c$ の入れ替えで不変(対称式)。だから同様に $b=-c$ で $0$、$c=-a$ で $0$ になり、$F$ は $(a+b)(b+c)(c+a)$ で割り切れる。

③ 定数倍の決定。 $F$ も $(a+b)(b+c)(c+a)$ も、ともに $a,b,c$ の3次式。$F=k(a+b)(b+c)(c+a)$ とおき、たとえば $a=b=c=1$ を代入すると

$$F=3^3-1-1-1=24,(a+b)(b+c)(c+a)=2\cdot 2\cdot 2=8$$

より $24=8k$、$k=3$。したがって

$$(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$$

まとめ: 因数定理で因数を1つ見つけ、対称性で残り2つに広げ、次数の一致から定数倍だけを1点で合わせる。総当たりの展開より、構造(因数と次数)を使う方が短くて確実だ。

発展 — 一歩先へ。 この恒等式に $a+b+c=0$ を入れると、左辺は $-(a^3+b^3+c^3)$、右辺は $3(-c)(-a)(-b)=-3abc$。つまり有名な「$a+b+c=0$ のとき $a^3+b^3+c^3=3abc$」が1行で出る。本問は、あの公式の親玉なのだ。

別解

2文字の同型を踏み台にする(展開を最小限にした直接ルート)。 2文字版の恒等式 $(a+b{)}^3-a^3-b^3=3ab(a+b)$ は展開1回で確かめられる。これを踏み台に、3文字目を後から入れる。

$s=a+b$ とおいて、左辺を「$s$ と $c$ の2文字」として展開する:

$$F=(s+c{)}^3-a^3-b^3-c^3=(s^3-a^3-b^3)+3s^{2}c+3s{c}^2$$

前半は2文字版で $s^3-a^3-b^3=3abs$。後半は $3sc(s+c)$。合わせて

$$F=3s\left(ab+c(s+c)\right)=3(a+b)\left(ab+ca+cb+c^2\right)$$

最後のかっこは $a(b+c)+c(b+c)=(a+c)(b+c)$ と因数分解できる。よって

$$F=3(a+b)(b+c)(c+a)$$

因数定理を使わず、既知の2文字版に帰着させて組み立てるルートだ。「複雑な式は、文字を1つ束ねて既知の形に落とす」という手筋は、対称式のあちこちで使える。