数学I / 数と式
連続する積に1を足すと平方になる
問題
は、ある整式の 乗であることを示し、その整式を求めよ。
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つを順にかけると 次式になって平方か見えない。和が同じになるように つずつ組むと、共通のかたまりが現れる。それを 文字に置きかえられるか。
解答・解説
方針
つを順にかけない。 に注目し、両端どうし・内側どうしで組む。、。共通のかたまり を とおくと 。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 つを順に掛けるのは悪手。 に注目して、両端どうし・内側どうしで組む。
、。どちらも を共通に含む。
そこで とおくと、。 を戻せば 。「共通のかたまりを文字でおく」置換が決め手だ。
重要かける順を選ぶ — となるよう両端どうし・内側どうしで組むと、共通のかたまり が現れる
① 組み合わせを選んでかける。
どちらにも が共通して現れる。
② 置きかえる。 とおくと、もとの式は
③ を戻す。
これで は整式 の 乗だと示せた。
まとめ:「連続する つの積 は平方」という有名事実の一般化。かける順を工夫して共通のかたまりを作り、置きかえで 次式に落とすのが決め手。 がちょうど を に押し上げる役割をしている。
発展 — 一歩先へ。 連続する 整数の積に を足すと必ず平方数: 。たとえば 。「連続整数の積 が平方」という美しい事実で、整数の性質の問題にもよく顔を出す。
答
別解
別解 — 中心をずらして対称形にする(得意な人向けの視点)。 つの因数 の“中心”は 。そこで とおくと、 因数は と、 について対称に並ぶ。
両端どうし・内側どうしを掛けると平方の差になる。
積に を足すと 。
を戻すと 。だから 。
とおく本解と同じだが、「中心をずらして対称に」すると、なぜ両端・内側で組むのかが構造として見える。連続 数の積 が必ず平方になるのは、この対称性のおかげだ。
ポイント
- 両端・内側の和がそろう組み方で、共通の を作る。
- の置きかえで 、戻して 。
よくある間違い
- つを順に掛けて 次式を展開し、平方の形を見失う。
- 組む相手を間違える( になる両端・内側で組む。 では共通のかたまりが出ない)。
- の置換後、 の定数 を誤る。