数学I / 数と式

共通因数でくくる因数分解(2段階・符号の調整)

★★ 標準因数分解共通因数

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $4 x^{2} y - 24 x y + 36 y$

(2) $(a - 3 b) x + (3 b - a) y$

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(1)は共通因数でくくると、中に見慣れた2次式が残る — それがさらに何かの2乗に。(2)は $3 b - a$ と $a - 3 b$ が符号違いの同じもの。片方の符号をそろえると共通因数が現れる。

解答・解説

(1)はまず共通因数でくくり、そのあとカッコの中がさらに因数分解できないか見る。2段階だ。

(2)は $(a - 3 b)$ と $(3 b - a)$ が符号違いで似ている。 $3 b - a = - (a - 3 b)$ と書きかえると、共通の $(a - 3 b)$ が見えてくる。「符号をそろえる」のがコツだ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解の第一手は、いつでも「共通因数はないか」だ。

(1)は全部の項に $4 y$ が入っている。ただし、くくったら終わりではない。カッコの中がまだ分解できないか、もう一度見る。2段構えを最初から予定しておく。

(2)は $(a - 3 b)$ と $(3 b - a)$ 。そっくりだが符号が逆だ。 $3 b - a = - (a - 3 b)$ と書き直せば、共通因数が姿を現す。

公式因数分解の手順:まず共通因数でくくり、残りを公式(完全平方など)で分解する

(1) まず共通因数 $4 y$ でくくる。

$4 x^{2} y - 24 x y + 36 y = 4 y (x^{2} - 6 x + 9)$

カッコの中 $x^{2} - 6 x + 9$ は、 $(x - 3)^{2}$ にさらに因数分解できる。

$= 4 y (x - 3)^{2}$

共通因数でくくって終わり、ではなく「中身がまだ分解できないか」を必ず見る。

(2) $(a - 3 b)$ と $(3 b - a)$ は符号が逆で似ている。 $3 b - a = - (a - 3 b)$ と書きかえて、符号をそろえる。

$(a - 3 b) x + (3 b - a) y = (a - 3 b) x - (a - 3 b) y = (a - 3 b) (x - y)$

まとめ:共通の $(a - 3 b)$ が見えたのでくくれた。符号違いのかたまりを見たら、 $- (\dots)$ でそろえられないか考えよう。

発展 — 一歩先へ。 因数分解は「これ以上分解できなくなるまで」が約束だ。だから「くくったら、カッコの中をもう一度見る」を習慣にしたい。

このあと学ぶ複2次式や2文字の因数分解でも、最後の一手はいつも同じ確認になる。仕上げに展開して元に戻るかを見れば、検算まで完了する。

答

(1) $4 y (x - 3)^{2}$ (2) $(a - 3 b) (x - y)$

(2)は、いったん展開してから組み直すルートでも解ける。

$(a - 3 b) x + (3 b - a) y = a x - 3 b x + 3 b y - a y$ 。

この4項を、 $a$ のつく項と $3 b$ のつく項で組み直す。 $(a x - a y) - (3 b x - 3 b y) = a (x - y) - 3 b (x - y)$ 。

こんどは $(x - y)$ が共通因数として見えるから、 $(a - 3 b) (x - y)$ とくくれる。

「符号ちがいのカッコ」に気づけなかったときの保険になる。どう組んでも同じ答えに着地することも確かめられる。