重根をもつ式で割った余り

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(x-1{)}^2$ で割った余りは1次以下だから、$ax+b$ とおける。$x^{10}=(x-1{)}^{2}Q(x)+ax+b$ だ。

ふつうは $x=1$ を代入して1本の式を得る。だが未知数は $a,b$ の2つで、それだけでは決まらない。

そこで、割る式が重根 $x=1$ をもつことを使う。両辺を微分してから $x=1$ を代入すると、もう1本得られる。$(x-1{)}^2$ は微分しても $x=1$ で $0$ になる項を残すのがミソだ。これで連立できる。

① 余りを設定する。 $x^{10}=(x-1{)}^{2}Q(x)+ax+b$。

② $x=1$ を代入。 右辺第1項は $0$ になり

$$1^{10}=a+b⟺a+b=1$$

③ 微分して $x=1$ を代入。 両辺を微分すると

$$10x^9=2(x-1)Q(x)+(x-1{)}^2{Q}^{\prime }(x)+a$$

$x=1$ を代入すると、右辺の $(x-1)$ を含む項はすべて消えて

$$10\cdot 1^9=a⟺a=10$$

④ 決定。 $a=10$ を $a+b=1$ に入れて $b=-9$。よって余りは

$$10x-9$$

まとめ: 重根で割る余りは「値の一致」と「微分係数の一致」の2条件で決まる。$(x-1{)}^2$ の因子が微分後も $x=1$ で $0$ になることを使うのが急所だ。$x^{10}$ を一切展開せずに済む。

発展 — 一歩先へ。 余り $10x-9$ の正体は、$y=x^{10}$ の $x=1$ における接線である($f(1)=1$、傾き $f^{\prime }(1)=10$)。一般に $f(x)$ を $(x-c{)}^2$ で割った余りは、$x=c$ での接線 $f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$ に一致する。「余り=いちばん近い1次式」という、味わいのある解釈だ。

別解

ずらして展開する(微分を使わないルート)。 $x=1+t$(つまり $t=x-1$)とおくと、割る式は $t^2$ になる。「$t^2$ で割った余り」は、$t$ の式の定数項と1次の項を拾うだけだ。

$$x^{10}=(1+t{)}^{10}$$

$(1+t{)}^{10}$ を展開したとき、定数項は $1$、$t$ の項は $10t$(10個のかっこから $t$ を1つだけ選ぶ選び方が10通り)。$t^2$ 以上の項はすべて $t^2$ で割り切れる。よって

$$x^{10}=1+10t+(t^2\text{の倍数})=1+10(x-1)+(x-1{)}^2\times (\cdots )$$

余りは $1+10(x-1)=10x-9$。

微分の代わりに「原点を $x=1$ にずらす」だけで、同じ2つの情報(値と傾き)が展開の最初の2項として現れる。数IIの微分を知らなくても、この問題は解けるのだ。