対称式・交代式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 一見バラバラの項も、一部を公式でまとめると共通のかたまりが現れることがある。

見るポイントは $2$ つ — 「$2$ 乗の形が隠れていないか」「$2$ 項ずつ組むと共通因数が出ないか」。

(1)は $x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$ に気づけば、$x+y$ が全体の共通のかたまりになる。(2)は $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ と $-x+y=-(x-y)$ に分けると、$(x-y)$ が共通で現れる。

(1) $x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$ なので、$x+y$ を1つのかたまり $A$ とみる。すると

$$(x+y{)}^2-(x+y)=A^2-A=A(A-1)$$

$A$ を戻して

$$x^2+2xy+y^2-x-y=(x+y)(x+y-1)$$

(2) 前2項 $x^2-y^2$ と、後2項 $-x+y$ に分ける。前は和と差のかけ算 $(x+y)(x-y)$、後は $-x+y=-(x-y)$。

$$\begin{array}{rl}{x}^2-y^2-x+y& =(x+y)(x-y)-(x-y)\end{array}$$

両方に共通の $(x-y)$ が見えた。くくって

$$=(x-y)\{(x+y)-1\}=(x-y)(x+y-1)$$

まとめ:共通のかたまりを見つけるのがすべて。$-x+y$ を $-(x-y)$ と書きかえると共通が見える、という一手を覚えておこう。

発展 — 一歩先へ。 「交代式は $(x-y)$ で割り切れる」は、数IIの因数定理($f(a)=0$ なら $(x-a)$ が因数)の先取りだ。$3$ 文字の交代式なら $(x-y)(y-z)(z-x)$ がまるごと因数になる — 対称性が因数を教えてくれる、という強力な原理である。

対称式には別の顔もある。$x+y$ と $xy$(基本対称式)さえ分かれば、$x^2+y^2$ も $x^3+y^3$ も計算できる — この技術は $2$ 次方程式の解と係数の関係(数II)で主役になる。今回の「$x+y$ をかたまりと見る」目は、その入り口に立っている。

別解

$2$ つの式の性格の違いに気づくと、答えの形が先に予想できる — 対称式と交代式の目だ。

(1) $x^2+2xy+y^2-x-y$ は対称式: $x$ と $y$ を入れ替えても、式はまったく変わらない($x^2$ と $y^2$ が入れ替わるだけ、$-x-y$ も同じ)。だから答えも入れ替えに対して不変な形になるはず — 実際 $(x+y)(x+y-1)$ は $x\leftrightarrow y$ で不変 ✓。

(2) $x^2-y^2-x+y$ は交代式: $x$ と $y$ を入れ替えると、全体の符号が反転する($x^2-y^2\to y^2-x^2$、$-x+y\to -y+x$)。

交代式には強い定理がある — $x=y$ を代入すると必ず $0$ になる(入れ替えても同じ式なのに符号が逆、そんな値は $0$ だけ)。$0$ になるということは、$(x-y)$ で割り切れる、ということだ。

実際 $x=y$ を(2)に入れると $0-0=0$ ✓ — だから $(x-y)$ が因数だと計算前に確定する。あとは残りを求めるだけで、答え $(x-y)(x+y-1)$ の骨格が予測できていた。

「式の対称性を見てから手を動かす」— 高校数学の全単元で効く、上級者の第一手である。