数学I / 数と式

2種類の文字を含む式の因数分解(最低次の文字で整理)

★★ 標準因数分解文字の整理

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{2} + x y + 4 x + 3 y + 3$

(2) $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 4 x + 7 y + 3$

ヒントを見る

2文字が混ざったら、片方の文字について整理すると1次式の形になり見通しがよくなる。(1)は $y$ について。整理して出た『 $x$ だけの部分』をさらに因数分解できれば、共通のカッコが現れる。

解答・解説

2文字が混ざった式は、次数の低いほうの文字について整理してからくくる。

(1)は $y$ が1次で低いので、 $y$ について整理。(2)は $x$ も $y$ も2次だが、 $x$ について整理して、定数項(= $y$ の式)をたすき掛けで分解する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字が2つ混ざった式は、そのまま眺めていても糸口が見えない。

合言葉は「次数の低い文字について整理」。(1)は $x$ が2次、 $y$ が1次だから、 $y$ について整理すると景色が一気に単純になる。

(2)は $x$ も $y$ も2次で並んでいる。この場合はどちらかを主役に決める。 $x$ について整理し、 $y$ だけの部分(定数あつかい)を先に因数分解してから、たすき掛けにかける。

重要2文字の式は、次数の低い文字について整理すると因数分解しやすい

(1) $y$ が1次で次数が低いので、 $y$ について整理する。

$x^{2} + x y + 4 x + 3 y + 3 = (x + 3) y + (x^{2} + 4 x + 3)$

$y$ を含まない部分 $x^{2} + 4 x + 3$ は $(x + 1) (x + 3)$ に因数分解できる。

$= (x + 3) y + (x + 1) (x + 3)$

共通の $(x + 3)$ でくくって

$= (x + 3) (y + x + 1) = (x + 3) (x + y + 1)$

(2) $x$ について整理する。

$x^{2} + (3 y + 4) x + (2 y^{2} + 7 y + 3)$

定数項(= $y$ の式) $2 y^{2} + 7 y + 3$ を、たすき掛けで分解する。

$2 y^{2} + 7 y + 3 = (2 y + 1) (y + 3)$

この2つの和を確かめると、 $x$ の係数と合う。

$(2 y + 1) + (y + 3) = 3 y + 4$

だから、 $x$ の2次式として次のように分解できる。

$x^{2} + (3 y + 4) x + (2 y + 1) (y + 3) = (x + 2 y + 1) (x + y + 3)$

『定数項を先に因数分解し、その和が $x$ の係数と合うか確かめる』のがコツ。

発展 — 一歩先へ。 「主役の文字を決めて、残りを数とみなす」のは、因数分解に限らない考え方だ。方程式や不等式で定数に文字が入ったとき、逆に定数のほうを主役に整理すると一気に見通せる問題もある。

また、2次式が1次式2つの積に分解できるかどうかは、あとで学ぶ判別式を使うと先に判定できるようになる。

答

(1) $(x + 3) (x + y + 1)$ (2) $(x + 2 y + 1) (x + y + 3)$

(1)は、 $x$ について整理しても解ける。

$x^{2} + (y + 4) x + 3 (y + 1)$ 。「掛けて $3 (y + 1)$ 、足して $y + 4$ 」になる2つを探す。

$3$ と $y + 1$ が見つかる。実際、 $3 + (y + 1) = y + 4$ 、 $3 \times (y + 1) = 3 y + 3$ でぴったりだ。

よって $(x + 3) (x + y + 1)$ 。

低い文字で整理するほうが計算は軽い。ただ「どちらで整理しても着地は同じ」と知っておくと、整理の向きで迷わなくなる。正しい組は式のほうが教えてくれる。