条件つき2乗和の最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対称な式だから、$a=b=\frac{1}{2}$ で最小になりそうだと当たりをつける。それを厳密に示すには、$a+b=1$(固定)と $ab=p$ を使い、式全体を $p$ だけの関数にする。

$a,b>0,a+b=1$ のとき、$p=ab$ の動ける範囲は $0<p\le \frac{1}{4}$ だ(相加相乗で上限 $\frac{1}{4}$、等号は $a=b$)。式が $p$ の単調関数なら、端 $p=\frac{1}{4}$ で最小と決まる。

① 式を $p$ で表す。 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=1-2p$。また

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{(ab{)}^2}=\frac{1-2p}{p^2},\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{p}$$

${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}$ だから、2つ足すと

$${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{b}\right)}^2=(a^2+b^2)+4+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=(1-2p)+4+\frac{1-2p}{p^2}$$

$$=5-2p+\frac{1-2p}{p^2}$$

② $p$ の関数として最小を探す。 $g(p)=5-2p+\frac{1-2p}{p^2}=5-2p+\frac{1}{p^2}-\frac{2}{p}$($0<p\le \frac{1}{4}$)。$p$ が小さくなるほど $\frac{1}{p^2}$ と $-\frac{2}{p}$ の組は急激に大きくなる($-2p$ の減少より圧倒的に強い)。よって $g$ は減少で、範囲の右端 $p=\frac{1}{4}$ で最小になる。

③ 値。 $p=\frac{1}{4}$ を代入する:

$$g\left(\frac{1}{4}\right)=5-\frac{1}{2}+\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=5-\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=5-\frac{1}{2}+8=\frac{25}{2}$$

よって最小値は $\frac{25}{2}$($a=b=\frac{1}{2}$ のとき)。

まとめ: $a+b$ を固定し、$ab=p$ を変数にとって1変数に落とす。範囲 $0<p\le \frac{1}{4}$ の端で最小、という形で、直感の「$a=b$」が厳密に効いてくる。対称式の最大最小の定石だ。

発展 — 一歩先へ。 $a=b$ で最小になるのは偶然ではない。$t+\frac{1}{t}$ 型の「下に凸」な関数を対称な条件で足すと、そろえたとき($a=b$)が最小になる。数IIIで学ぶ凸性(イェンゼンの不等式)の入り口が、ここに顔を出している。

別解

2乗平均の不等式で一撃(得意な人向け)。 実数 $X,Y$ について

$$X^2+Y^2\ge \frac{(X+Y{)}^2}{2}$$

が成り立つ($2(X^2+Y^2)-(X+Y{)}^2=(X-Y{)}^2\ge 0$)。これを $X=a+\frac{1}{a},Y=b+\frac{1}{b}$ に使う。

$$X+Y=(a+b)+\frac{a+b}{ab}=1+\frac{1}{p}(p=ab)$$

$0<p\le \frac{1}{4}$ より $\frac{1}{p}\ge 4$、つまり $X+Y\ge 5$。よって

$${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{b}\right)}^2\ge \frac{(X+Y{)}^2}{2}\ge \frac{25}{2}$$

等号は $X=Y$ かつ $p=\frac{1}{4}$、すなわち $a=b=\frac{1}{2}$ のとき(実現する)。

$p$ の関数の増減を調べる必要すらない。「2乗の和は、和の2乗の半分以上」という1本の不等式が、計算を丸ごと肩代わりしてくれる。