複2次式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4$ と $x^2$ だけの式(複2次式)は、$x^2=t$ の置きかえが第一候補だ。

(1)はこれで $t^2-13t+36$ になり、ふつうの因数分解で進む。$t$ を戻したあと、まだ分解できるかの確認を忘れない。

(2)は置きかえても $t^2+3t+4$ が分解できず、行き止まりに見える。ここであきらめず、発想を切り替える。2乗の差の形が作れないか。まん中の項を調整して平方を作るのが、この型の突破口だ。

(1) $x^2=t$ とおくと

$$t^2-13t+36$$

因数分解して

$$t^2-13t+36=(t-4)(t-9)$$

$t$ を戻し、$x^2-4$、$x^2-9$ をさらに分解する。

$$x^4-13x^2+36=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)$$

(2) $x^4+3x^2+4$ は、$x^2=t$ とおいても $t^2+3t+4$ となり、これは因数分解できない。そこで工夫する。まん中を $4x^2$ にすれば2乗の形が作れるので、$4x^2$ にして、増やしすぎた分($x^2$)を引く。

$$\begin{array}{rl}{x}^4+3x^2+4& =(x^4+4x^2+4)-x^2\\ & =(x^2+2{)}^2-x^2\end{array}$$

これで2乗 − 2乗の形になった。和と差のかけ算を使う。

$$\begin{array}{rl}& =\{(x^2+2)+x\}\{(x^2+2)-x\}\\ & =(x^2+x+2)(x^2-x+2)\end{array}$$

まとめ:『$t$ の因数分解ができないときは、2乗を作って差の形にする』という手を覚えておこう。

発展 — 一歩先へ。 実は、係数が実数の整式なら、どんな4次式も必ず1次式と2次式の積まで分解できることが知られている(代数学の基本定理から従う事実だ)。

だから複2次式が「分解できない見た目」をしていても、道は必ずある。その常套手段が今回の「平方の差を作る」だ。

別解

実は(1)も、(2)と同じ「平方の差を作る」ルートで解ける。

$(x^2-6{)}^2=x^4-12x^2+36$ に注目すると、元の式は $(x^2-6{)}^2-x^2$ と書ける。

和と差の積で $(x^2+x-6)(x^2-x-6)$。それぞれを分解して $(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)$。置きかえルートと同じ答えに着く。

つまり「平方の差を作る」は(2)専用の裏技ではなく、複2次式ぜんぶに通用する統一手段だ。置きかえで済む式はラクな道で、済まない式は平方の差で。2本の道を持っておくと複2次式で迷わない。