ソフィー・ジェルマンの恒等式(因数分解と素数判定)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a^4+4b^4$ は2乗の和の形で、そのままでは因数分解できない。定石は「真ん中の項を足して引いて、平方の差を作る」だ。

$(a^2+2b^2{)}^2$ を展開すると $a^4+4a^2{b}^2+4b^4$。与式との差はちょうど $4a^2{b}^2=(2ab{)}^2$。つまり

与式 $=(a^2+2b^2{)}^2-(2ab{)}^2$ — 平方の差になり、和と差の積に割れる。

(2)は $b=1$ を代入するだけ。ただし「素数でない」と言い切るには、両方の因子が $1$ より大きいことの確認が本体になる。

① 因数分解する。 $$a^4+4b^4=a^4+4a^2{b}^2+4b^4-4a^2{b}^2=(a^2+2b^2{)}^2-(2ab{)}^2.$$ 平方の差より $$=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab).$$ ② $n^4+4$ に適用。 $b=1,a=n$ とすると $$n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2).$$ ③ 両因子が $2$ 以上。 $n^2+2n+2=(n+1{)}^2+1\ge 2$、$n^2-2n+2=(n-1{)}^2+1$。$n\ge 2$ なら $(n-1{)}^2+1\ge 2$ で、$n^2+2n+2>1$。よって $n^4+4$ は $1$ より大きい $2$ つの整数の積=合成数(素数でない)。

まとめ $a^4+4b^4$ は $4a^2{b}^2$ を足し引きして平方の差にすると割れる。$n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$ で $n\ge 2$ なら合成数。因数分解と整数の融合。

発展 — 一歩先へ。 この恒等式はソフィー・ジェルマンの恒等式と呼ばれ、「$n^4+4^m$ 型は(自明な場合を除き)合成数」という判定に広く使える。有名な応用が「$n^4+4^n$($n\ge 2$)は合成数」— $n$ が偶数なら偶数で即決、奇数なら $4^n=4\cdot (2^{(n-1)/2}{)}^4$ と読み替えて、この恒等式がそのまま刺さる。ちなみに $5\nmid n$ なら $n^4+4\equiv 1+4\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ という速攻もあるが、$n$ が5の倍数のときに効かない — 恒等式は全部の $n$ を一撃で倒す。

別解

因子の正体を予想してから展開で確かめる(データから発見する)。 小さい $n$ で素因数分解してみる。

• $n=2$: $2^4+4=20=2\times 10$
• $n=3$: $3^4+4=85=5\times 17$
• $n=4$: $4^4+4=260=10\times 26$

因子を並べると $2,10$ / $5,17$ / $10,26$ — よく見るとどれも「平方 $+1$」だ($2=1^2+1$、$10=3^2+1$、$5=2^2+1$、$17=4^2+1$、$26=5^2+1$)。しかも平方の中身は $n-1$ と $n+1$。そこで

$$n^4+4=\left\{(n-1{)}^2+1\right\}\left\{(n+1{)}^2+1\right\}$$

と予想して、右辺を展開すると $(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)=n^4+4$ — 的中。$n\ge 2$ なら小さい方の因子 $(n-1{)}^2+1\ge 2$ で、合成数が確定する。

恒等式の変形(本解)は「作り方」を、データからの予想は「答えの形の意味($n\pm 1$ の平方 $+1$)」を教えてくれる。実験→予想→証明の3拍子は、整数がらみの問題の万能の入り口だ。