数学I / 数と式

展開の基本公式

★ 基礎展開

問題

次の式を展開せよ。

(1) $(x + 3)^{2}$

(2) $(2 x - 5) (2 x + 5)$

(3) $(x + 2) (x - 7)$

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3つとも展開公式で一発。(1)は『2乗』の形 — まん中の項(2つの積の2倍)を落としやすい。(2)は『和と差の積』。(3)は $x$ の係数が $1$ の2次式で『たす・かける』で作る形。それぞれどの型か見分けよう。

解答・解説

方針

展開は、公式に当てはめれば機械的にできる。使う公式を3つ確認しよう。

(1)は $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ 。(2)は $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 。(3)は $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ 。

どれを使うかは、式の形を見て決める。「2乗の形」「和と差のかけ算」「 $x$ が共通の2つのカッコ」を見分けよう。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 展開の問題は、配り始める前に「どの公式の形か」を見分けるのが最初の仕事。

(1)は同じものの $2$ 乗、(2)は和と差のかけ算、(3)は $x$ が共通の $2$ つのカッコ。

形さえ見分ければ、あとは公式への当てはめ — 見分けの目を作ることが、この問題の目的である。

公式乗法公式

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

、

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

、

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(1) $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ に当てはめる。 $a = x$ 、 $b = 3$ だ。

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

(x+3)² = x²+3x+3x+9 = x²+6x+9

まん中の $2 ab$ (ここでは $6 x$ )を忘れやすいので注意。

(2) 和と差のかけ算 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ の形だ。 $a = 2 x$ 、 $b = 5$ 。

$(2 x - 5) (2 x + 5) = (2 x)^{2} - 5^{2} = 4 x^{2} - 25$

$(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ のように、係数の2も2乗するのを忘れずに。

(3) $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ で、 $a = 2$ 、 $b = - 7$ 。

$(x + 2) (x - 7) = x^{2} + {2 + (- 7)} x + 2 \cdot (- 7) = x^{2} - 5 x - 14$

まとめ: $x$ の係数は2数の和 $2 + (- 7) = - 5$ 、定数項は2数の積 $2 \times (- 7) = - 14$ 。符号に気をつけよう。

発展 — 一歩先へ。 $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ に $x = 10$ を入れると $1 3^{2} = 100 + 60 + 9 = 169$ — 展開公式は暗算の道具でもある。 $97 \times 103 = (100 - 3) (100 + 3) = 10000 - 9 = 9991$ のように、和と差の積は「きりのいい数 $\pm$ 少し」のかけ算を一瞬にする。

この $3$ つの公式は、この先の因数分解(逆向き)・ $2$ 次方程式・平方完成まで、数Iの計算の背骨として使われ続ける。「形を見分けてから手を動かす」習慣ごと持ち上がっていく。

答

(1) $x^{2} + 6 x + 9$ (2) $4 x^{2} - 25$ (3) $x^{2} - 5 x - 14$

別解

公式のまん中の項( $6 x$ )がどこから来るのか — 正方形の面積の絵で見ると忘れなくなる。

$(x + 3)^{2}$ は「 $1$ 辺 $x + 3$ の正方形の面積」。この正方形を、辺を $x$ と $3$ に区切って切り分けると、 $4$ つの部屋ができる。

$x \times x$ の部屋: $x^{2}$
$x \times 3$ の部屋が $2$ つ(右上と左下): $3 x + 3 x = 6 x$
$3 \times 3$ の部屋: $9$

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

まん中の $6 x$ の正体は「細長い部屋 $2$ 部屋分」— だから公式は $2 ab$ と倍が付く。 $x^{2} + 9$ という誤りは、 $4$ 部屋のうち角の $2$ 部屋しか数えていない絵に相当する。

(2)の $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ も、正方形から小さい正方形を欠いた図形の切り貼りで絵にできる。公式を忘れたら面積の絵 — 展開公式は図形の言葉で暗記の裏付けが取れる。

ポイント

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (まん中の $2 ab$ を忘れない)
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (和と差のかけ算)
$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ (和と積)

よくある間違い

$(x + 3)^{2}$ を $x^{2} + 9$ とする(まん中の $6 x$ を落とす)
$(2 x)^{2}$ を $2 x^{2}$ とする(係数 $2$ も2乗して $4 x^{2}$ )
(3)で和と積の入る場所を逆にして $x^{2} - 14 x - 5$ 型にする(和が $x$ の係数、積が定数項)