数学I / 数と式

因数分解の形から係数を決定する

★★ 標準因数分解係数の決定

問題

$x$ についての2次式 $2 x^{2} + a x - 15$ を因数分解すると $(x + 3) (2 x + b)$ になるという。定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

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展開すれば必ず元の式と一致するはず。 $(x + 3) (2 x + b)$ を展開して、 $x$ の係数と定数項を元の式と見比べる。まず、確実に読み取れる定数項から $b$ を決めよう。

解答・解説

$(x + 3) (2 x + b)$ を展開すると、もとの $2 x^{2} + a x - 15$ と同じ式になるはずだ。

だから、展開した式と見比べて、 $x$ の係数どうし・定数項どうしを等しいとおけば、 $a, b$ が求まる。これを係数比較という。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「因数分解するとこうなる」と言われたら、逆向きに考える。展開すれば元の式に戻るはずだ。

つまり $(x + 3) (2 x + b)$ を展開した式と $2 x^{2} + a x - 15$ は、どんな $x$ でも同じ値になる同一の式ということ。

同じ式なら、係数どうしが一致する。 $x$ の係数と定数項を見比べれば、 $a$ と $b$ が決まる。

$(x + 3) (2 x + b)$ を展開する。

$(x + 3) (2 x + b) = 2 x^{2} + b x + 6 x + 3 b = 2 x^{2} + (b + 6) x + 3 b$

これが $2 x^{2} + a x - 15$ と同じ式になるので、同じ次数の項の係数を等しいとおく(係数比較)。

定数項を比べて $3 b = - 15$ 、つまり $b = - 5$ 。 $x$ の係数を比べて $a = b + 6 = - 5 + 6 = 1$ 。

よって $a = 1$ 、 $b = - 5$ 。確かめると

$2 x^{2} + x - 15 = (x + 3) (2 x - 5)$

となり、正しく因数分解できている。

発展 — 一歩先へ。 「どんな $x$ でも成り立つ等式」を恒等式という。恒等式の係数の決め方には、今回の係数比較と、別解の数値代入の2本立てがある。

数学IIで恒等式の単元に入ると、この2つが正式な道具として登場する。どちらでも同じ答えに着くことを、今のうちに体で覚えておくと強い。

答

$a = 1$ 、 $b = - 5$

別の求め方もある。 $(x + 3)$ が因数なら、 $x = - 3$ を入れると式全体が $0$ になるはずだ(因数定理の考え方)。

もとの式 $2 x^{2} + a x - 15$ に $x = - 3$ を入れると

$2 \cdot (- 3)^{2} + a \cdot (- 3) - 15 = 18 - 3 a - 15 = 3 - 3 a$

これが $0$ だから $a = 1$ 。 $a$ が決まれば $2 x^{2} + x - 15 = (x + 3) (2 x - 5)$ と因数分解できて、 $b = - 5$ もわかる。

「どんな $x$ でも成り立つ等式には、好きな値を代入してよい」。この考え方は、係数比較と並ぶもう1つの基本ルートだ。