相反する量の5乗和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^5+\frac{1}{x^5}$ を5乗の展開でいきなり求めるのは大変だ。$s_k=x^k+\frac{1}{x^k}$ とまとめて、低い次数から漸化式で積み上げる。

鍵は $\left(x+\frac{1}{x}\right)s_{k-1}$ の展開だ。交差項がちょうど $x^{k-2}+\frac{1}{x^{k-2}}$ になり、$s_k=3s_{k-1}-s_{k-2}$ が出る。あとは $s_1=3$ から順に $s_5$ まで階段を上るだけ。

① 漸化式。 $\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^{k-1}+\frac{1}{x^{k-1}}\right)=\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)+\left(x^{k-2}+\frac{1}{x^{k-2}}\right)$ より

$$3s_{k-1}=s_k+s_{k-2}⟺s_k=3s_{k-1}-s_{k-2}$$

② 順に計算する。 $s_1=3$。$s_2=x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=9-2=7$。以降は漸化式で

$$s_3=3\cdot 7-3=18,s_4=3\cdot 18-7=47,s_5=3\cdot 47-18=123$$

よって $x^5+\frac{1}{x^5}=123$。

まとめ: $x^k+\frac{1}{x^k}$ を $s_k$ とまとめ、$s_k=3s_{k-1}-s_{k-2}$ で階段を上る。$x$ そのもの(無理数)を求めず、対称な量だけで完結させるのが急所だ。

発展 — 一歩先へ。 漸化式が整数係数だから、$s_k$ はすべて整数になる。実は $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ は黄金比の2乗 ${\phi }^2$ で、$s_k$ の列 $3,7,18,47,123,\dots$ はリュカ数列の偶数番目($L_2,L_4,L_6,\dots$)に一致している。無理数のべきの和が律儀に整数を刻む背景には、こういう構造がある。

別解

掛け算の組み合わせで一気に(階段を飛ばすルート)。 漸化式で1段ずつ上らなくても、既知の $s_2,s_3$ を掛け合わせれば $s_5$ に届く。

まず $s_2=3^2-2=7$。次に3乗の展開から

$${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)⟹27=s_3+9,s_3=18$$

仕上げに $s_2\cdot s_3$ を展開する:

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=x^5+\frac{1}{x^5}+x+\frac{1}{x}=s_5+s_1$$

よって $7\cdot 18=s_5+3$、$s_5=126-3=123$。

指数の足し算($2+3=5$)と引き算($3-2=1$)が同時に現れるのが、この掛け算の性質だ。目的の次数への「近道の組み合わせ」を自分で設計できると、この型はぐっと速くなる。