対称式の因数分解(因数定理で当てる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対称式は、因数定理で「因数を当てる」のが速い。$a=-b$ を代入してみる。

計算すると $0$ になる(確かめてみよう)。だから因数 $(a+b)$ をもつ。式は $a,b,c$ について対称だから、同じ理由で $(b+c)$、$(c+a)$ も因数。

もとは $3$ 次、$(a+b)(b+c)(c+a)$ も $3$ 次だから、残りは定数 $k$。$1$ 点代入で $k=1$ と決まる。

① 因数を見つける。 $a=-b$ を代入すると

$$b^2(b+c)+b^2(c-b)+c^2(-b+b)+2(-b)bc=b^2(b+c)+b^2(c-b)+0-2b^{2}c$$

$=b^2\{(b+c)+(c-b)\}-2b^{2}c=b^2(2c)-2b^{2}c=0$。よって $(a+b)$ で割り切れる。対称式だから $(b+c)$、$(c+a)$ も因数。

② 残りの因数を絞る。 もとの式は $3$ 次(合計次数 $3$)、$(a+b)(b+c)(c+a)$ も $3$ 次。よって残りは定数 $k$ で

$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=k(a+b)(b+c)(c+a)$$

③ 係数 $k$ を決める。 $a=b=c=1$ を代入すると、左辺 $=1\cdot 2+1\cdot 2+1\cdot 2+2=8$、右辺 $=k\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8k$。よって $k=1$。したがって

$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)$$

まとめ:対称式の因数分解は「$1$ 文字で整理」か「因数定理で因数を当てる」の二択。候補が $(a+b)(b+c)(c+a)$ と分かれば次数と $1$ 点代入で終わる。$2abc$ の項が、ちょうど積の展開に含まれる「のりしろ」の役割をしている。

発展 — 一歩先へ。 $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ は頻出の恒等式(次の問題 e07 そのもの)。基本対称式 $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ で書くと $pq-r$。$3$ 次方程式の解の対称式や、不等式の証明で繰り返し登場する“道具”になる。

別解

別解 — 展開して対称式で組み直す(計算で押し切るルート)。 因数定理を使わず、左辺を展開して整理する。

$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b+2abc.$$

一方、右辺 $(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開すると、これも同じ $6$ 項 $+2abc$ になる(基本対称式で $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ とも書ける)。

両者が一致するので、左辺 $=(a+b)(b+c)(c+a)$。

因数定理(本解)は「因数を当てる」鮮やかな方法だが、展開して突き合わせる素朴なルートも、$6$ 項 $+2abc$ という対称な形が見えれば確実。$a^{2}b$ 型($6$ 通り)がすべて係数 $1$ で現れる、という対称性が鍵だ。