数学I / 数と式

置き換えを利用する因数分解

★★ 標準因数分解置き換え

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $(x + 2 y)^{2} - 6 (x + 2 y) + 8$

(2) $9 a^{2} - (b - c)^{2}$

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(1)は $x + 2 y$ が繰り返し出てくる — これを1文字に置き換えると単純な2次式。(2)は $9 a^{2}$ を『何かの2乗』と見れば、2乗の差の形。

解答・解説

(1)は $x + 2 y$ が共通のかたまり。 $x + 2 y = t$ とおくと、見なれた2次式 $t^{2} - 6 t + 8$ になる。因数分解して $t$ を戻す。

(2)は $9 a^{2} = (3 a)^{2}$ 、 $(b - c)^{2}$ とみると、2乗 − 2乗の形(和と差のかけ算)だ。 $b - c$ をひとかたまりとして $a^{2} - b^{2}$ の公式を使う。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)には $x + 2 y$ が2回現れている。同じかたまりの繰り返しは、置きかえのサインだ。

$x + 2 y = t$ とおけば $t^{2} - 6 t + 8$ 。見慣れた2次式になる。分解したら $t$ を元に戻す。

(2)は $9 a^{2} = (3 a)^{2}$ 。引かれているほうも $(b - c)^{2}$ で、どちらも2乗だ。2乗の差と見抜ければ、和と差の積に分解できる。

公式共通のかたまりを

t

とおき、

t

の2次式として因数分解する

(1) $x + 2 y$ を1つのかたまり $t$ とおく。すると $t$ の2次式だ。

$t^{2} - 6 t + 8$

因数分解して

$t^{2} - 6 t + 8 = (t - 2) (t - 4)$

$t$ を $x + 2 y$ に戻して

$(x + 2 y - 2) (x + 2 y - 4)$

(2) $9 a^{2} = (3 a)^{2}$ 、そして $(b - c)^{2}$ 。 $b - c$ をひとかたまりとみると、2乗 − 2乗の形なので和と差のかけ算が使える。

$9 a^{2} - (b - c)^{2} = (3 a)^{2} - (b - c)^{2} = {3 a + (b - c)} {3 a - (b - c)} = (3 a + b - c) (3 a - b + c)$

後ろのカッコで $- (b - c) = - b + c$ と符号が変わるところに注意。

発展 — 一歩先へ。 「同じ形の繰り返しを1文字と見る」目は、このあと何度も主役になる。複2次式の置きかえ、三角比の式、指数の式など、置きかえで見慣れた2次式に落とす場面は数学の全域に現れる。

「かたまりを探す」が置きかえの合図だと覚えておこう。

答

(1) $(x + 2 y - 2) (x + 2 y - 4)$ (2) $(3 a + b - c) (3 a - b + c)$

(1)は、かたまりに気づけなくても解ける。展開して、「2文字の整理」で分解し直すルートだ。

展開すると $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - 6 x - 12 y + 8$ 。これを $y$ について整理すると $4 y^{2} + 4 (x - 3) y + (x - 2) (x - 4)$ になる(定数あつかいの $x^{2} - 6 x + 8$ を先に分解した)。

たすき掛けで $(2 y + x - 2) (2 y + x - 4)$ 。並べ直せば $(x + 2 y - 2) (x + 2 y - 4)$ で、同じ答えに着く。

ただし手数はずっと多い。「かたまりのまま扱えば2手で済む」ことを実感するための別ルートでもある。