工夫して展開する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 そのまま展開すると項が多くて大変そう — と感じたら、それは共通のかたまりを探すサインだ。

(1)は $x+y$ がどちらのカッコにもいる。かたまりを $1$ 文字 $A$ とみれば、$(A+2)(A-2)$ — 和と差の積の公式が使える。

(2)は順番の工夫。先に $(x+1)(x-1)=x^2-1$ を作ると、次も和と差の積になって連鎖する。「どこから計算するか」も解法のうちである。

(1) $x+y$ を1つのかたまりとみて $A=x+y$ とおく。すると和と差のかけ算だ。

$$(A+2)(A-2)=A^2-4$$

$A$ をもとに戻して、$A^2=(x+y{)}^2$ を展開する。

$$\begin{array}{rl}{A}^2-4& =(x+y{)}^2-4\\ & =x^2+2xy+y^2-4\end{array}$$

(2) 前から順にかけるより、組み合わせを工夫する。$(x+1)(x-1)$ が和と差のかけ算になっているので、先に計算する。

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

残りの $(x^2+1)$ をかけると、これもまた和と差のかけ算の形だ。

$$(x+1)(x-1)(x^2+1)=(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$$

まとめ:和と差のかけ算 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ が2回使えると気づけば、一気に片づく。

発展 — 一歩先へ。 (2)の連鎖はもっと続けられる — $x^4-1$ に $(x^4+1)$ を掛ければ $x^8-1$、さらに掛けて $x^{16}-1,\dots$。「和と差の積のドミノ」は $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\cdots$ という美しい積の形を生み、数Bの数列や $2$ 進法の話($2^n-1$ の因数分解)にも顔を出す。

かたまり置き($A=x+y$)は、複2次式($x^2=t$)・対称式・数IIの複雑な展開まで、この単元の後半から先へずっと使い続ける中心技術。「同じ形の反復を見たら $1$ 文字に圧縮する」— 数学の式変形の、最も汎用的な整理術である。

別解

「順番の工夫」のありがたみは、わざと悪い順番で $1$ 度やってみると骨身にしみる。

(2)を前から順に、$(x+1)(x-1)$ でなく $(x-1)(x^2+1)$ から計算してみよう。

$$(x-1)(x^2+1)=x^3+x-x^2-1$$

$4$ 項の $3$ 次式 — 公式の形ではない。これに $(x+1)$ を掛けると、$2\times 4=8$ 項の配り算になり、同類項をまとめてようやく $x^4-1$ に着く。答えは同じだが、手数と事故の機会が数倍だ。

良い順番($(x+1)(x-1)$ が先)なら

$$(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$$

— 和と差の積が $2$ 連鎖して $2$ 行で終わる。

かけ算は順番を選べる(交換・結合法則)— だから「公式が使えるペアを先に組む」という設計の自由がある。計算の前に $2$ 秒、ペアの組み方を眺める習慣が、この問題の本当の教えである。