対称式の因数分解(1つの文字について整理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3文字の式は、展開して項を増やしても構造は見えてこない。

ここでも合言葉は同じだ。1つの文字を主役に選び、降べきの順に整理する。

この式は対称的で、$x$、$y$、$z$ のどれを選んでも同じ形になる。だから安心して $x$ を主役にすればいい。整理すると $(y+z)$ が共通因数として浮かび上がる。

$x$ について整理する。まず展開して $x$ でまとめると

$$\begin{array}{rl}& x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz\\ & =x^2(y+z)+y^{2}z+x{y}^2+x{z}^2+y{z}^2+2xyz\end{array}$$

$x$ について降べきの順にまとめる。$x$ の係数の部分は $y^2+2yz+z^2=(y+z{)}^2$ とまとまる。

$$\begin{array}{rl}& =(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)x+(y^{2}z+y{z}^2)\\ & =(y+z)x^2+(y+z{)}^{2}x+yz(y+z)\end{array}$$

どの項にも共通の $(y+z)$ がある。くくり出すと

$$=(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz\}$$

カッコの中 $x^2+(y+z)x+yz$ は、かけて $yz$・たして $y+z$ の2数が $y$ と $z$ なので、$(x+y)(x+z)$ に分解できる。まとめて

$$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$$

まとめ:対称式は『1文字について整理 → 共通因数でくくる → 残りを分解』の流れで、きれいな積の形になることが多い。

発展 — 一歩先へ。 どの2文字を入れかえても変わらない式を対称式という。対称式の攻め方は、今回の「1文字で整理」と、別解の「$0$ になる代入を探す」が2大方針だ。

似た形の $x^3+y^3+z^3-3xyz$ も、まったく同じ2つの方針で分解できる。数学IIで因数定理を学んだら、ぜひ試してみてほしい。

別解

力のある人向けに、種明かしのような方法もある。「$0$ になる代入」を探すのだ。

$x=-y$ を代入してみると、すべての項が打ち消し合って式全体がちょうど $0$ になる。これは、式が $(x+y)$ を因数に持つサインだ。

この式は $x$、$y$、$z$ について対称だから、同じ理由で $(y+z)$ と $(z+x)$ も因数になる。

3つの因数の積 $(x+y)(y+z)(z+x)$ は3次式で、元の式も3次式。だから、あとは定数倍のズレしかない。たとえば $x^{2}y$ の項の係数を見比べると、どちらも $1$。よって答えは $(x+y)(y+z)(z+x)$ と決まる。

数学IIで因数定理を学ぶと、この「代入で因数を見つける」方法が正式な定理として手に入る。