数学I / 数と式

2変数2次式の因数分解(最高次を先に割る)

★★★★ 難関因数分解多変数たすき掛け

問題

次の式を因数分解せよ。

$6 x^{2} + x y - 12 y^{2} + 4 x + 23 y - 10$

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いきなり全体を分解しない。まず最高次( $2$ 次)の部分だけをたすき掛けする。因数の骨組みが決まったら、各因数に定数を足して $1$ 次の係数と定数に合わせられるか。

解答・解説

方針

まず最高次(2次)の部分 $6 x^{2} + x y - 12 y^{2}$ だけをたすき掛けして $(2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$ に。因数の骨組みが決まったら $(2 x + 3 y + m) (3 x - 4 y + n)$ とおき、 $x$ ・ $y$ の $1$ 次の係数から $m, n$ を連立で求め、定数項 $mn = - 10$ で検算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 文字 $2$ 次式は、まず最高次( $2$ 次)の部分だけをたすき掛けして骨組みを決める。

$6 x^{2} + x y - 12 y^{2} = (2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$ 。これで因数の“頭”が決まった。

あとは $(2 x + 3 y + m) (3 x - 4 y + n)$ とおき、 $x, y$ の $1$ 次の係数から $m, n$ を連立で求める。最後に定数項 $mn = - 10$ で検算すれば安心だ。

① 最高次の部分をたすき掛けする。 $6 x^{2} = (2 x) (3 x)$ 、 $- 12 y^{2} = (3 y) (- 4 y)$ の組で

$6 x^{2} + x y - 12 y^{2} = (2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$

( $x y$ の係数は $2 \cdot (- 4) + 3 \cdot 3 = 1$ で一致する。)

② 定数を付けた形をおく。 求める因数分解を

$(2 x + 3 y + m) (3 x - 4 y + n)$

とおき、展開して $x$ ・ $y$ の $1$ 次と定数を、もとの式と比べる。

$x$ の係数: $2 n + 3 m = 4$
$y$ の係数: $- 4 m + 3 n = 23$
定数: $mn = - 10$

③ $m, n$ を決める。 上の $2$ 本 $3 m + 2 n = 4$ 、 $- 4 m + 3 n = 23$ を連立して解くと $m = - 2$ 、 $n = 5$ 。これは残る条件 $mn = (- 2) \cdot 5 = - 10$ も満たす(定数項による検算)。よって

$6 x^{2} + x y - 12 y^{2} + 4 x + 23 y - 10 = (2 x + 3 y - 2) (3 x - 4 y + 5)$

まとめ: $2$ 変数の $2$ 次式は「最高次を先にたすき掛け → 定数を付けて $1$ 次と定数で連立」。定数項の $mn$ は連立の検算に使えるので、 $3$ つの条件が全部そろって初めて確定する。

発展 — 一歩先へ。 片方の文字の $2$ 次方程式とみて解くと、判別式が「文字の完全平方」になるかどうかで、有理係数で因数分解できるかが判定できる(別解)。 $(17 y - 16)^{2}$ のようにきれいな平方になれば分解可能、平方にならなければ有理数の範囲では既約。因数分解の可否を、判別式が教えてくれる。

答

$(2 x + 3 y - 2) (3 x - 4 y + 5)$

別解

別解 — 一方の文字の $2$ 次方程式として解く(苦手な人にも確実なルート)。 $x$ の $2$ 次式とみて、 $6 x^{2} + (y + 4) x - (12 y^{2} - 23 y + 10) = 0$ を解の公式で解く。

判別式は $(y + 4)^{2} + 24 (12 y^{2} - 23 y + 10) = 289 y^{2} - 544 y + 256 = (17 y - 16)^{2}$ 。きれいな平方になった(因数分解できる印)。

$x = \frac{- ( y + 4 ) \pm ( 17 y - 16 )}{12} = \frac{16 y - 20}{12} または \frac{- 18 y - 12}{12} .$

すなわち $x = \frac{4 y - 5}{3}$ または $x = \frac{- 3 y - 2}{2}$ 。これを $(3 x - 4 y + 5)$ と $(2 x + 3 y + 2)$ … 符号をそろえて

$6 x^{2} + x y - 12 y^{2} + 4 x + 23 y - 10 = (2 x + 3 y - 2) (3 x - 4 y + 5) .$

たすき掛けで骨組みから組む本解に対し、「片方の文字の $2$ 次方程式を解く」と、判別式が平方になるかどうかで因数分解の可否まで判定できる。判別式 $(17 y - 16)^{2}$ がきれいな平方だったことが、有理係数で割れる保証だ。

ポイント

最高次 $6 x^{2} + x y - 12 y^{2} = (2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$ を先に決める。
$(2 x + 3 y + m) (3 x - 4 y + n)$ の $m, n$ を $1$ 次係数の連立で求め、 $mn = - 10$ で検算。

よくある間違い

最高次 $6 x^{2} + x y - 12 y^{2}$ のたすき掛け $(2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$ を誤る。
$(2 x + 3 y + m) (3 x - 4 y + n)$ とおいたあと、 $x, y$ の $1$ 次の係数の連立で $m, n$ を取り違える。
定数項 $mn = - 10$ の検算を飛ばし、符号違いの因数分解に気づかない。