3変数の3乗和の因数分解と応用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は、右辺を展開して左辺に一致させるのが最短の証明だ(恒等式の証明は「複雑な側を変形して簡単な側へ」が基本)。

(2)がこの恒等式の使いどころになる。$x+y+z=0$ を(1)の右辺に代入すると、第1因子がまるごと $0$。

左辺 $=0$、すなわち $x^3+y^3+z^3=3xyz$ が、計算なしで転がり出る。「和が0なら、3乗和は積の3倍」— 対称式の世界の名物の関係だ。

① 恒等式を示す。 右辺を展開する。$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を展開すると、$x^3+y^3+z^3$ と $-3xyz$ が残り、他は打ち消し合う。(あるいは $x^3+y^3+z^3-3xyz$ を $x$ の多項式とみて $x=-(y+z)$ を代入すると $0$、よって $(x+y+z)$ を因数にもち、割った商が第 $2$ 因子。)

② $x+y+z=0$ を代入。 (1) の因数分解で $x+y+z=0$ とすると右辺の第 $1$ 因子が $0$ だから $$x^3+y^3+z^3-3xyz=0⟹x^3+y^3+z^3=3xyz.$$

まとめ $x^3+y^3+z^3-3xyz$ は $(x+y+z)$ を因数にもつ(因数定理)。$x+y+z=0$ なら第 $1$ 因子が $0$ で $x^3+y^3+z^3=3xyz$。因数分解と対称式・条件の融合。$1+2+(-3)=0$ で $1+8-27=-18=3\cdot 1\cdot 2\cdot (-3)$。

発展 — 一歩先へ。 第2因子は $\frac{1}{2}\left\{(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2\right\}\ge 0$ と書ける。だから $x,y,z>0$ なら第1因子 $x+y+z>0$ とあわせて $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$ — $x=\sqrt[3]{a}$ などと置けば、3変数の相加相乗平均がこの因数分解1本から出る。等号は $x=y=z$。「和が0 or 全部等しい ⟺ 3乗和=3倍の積」という同値まで、この式は語っている。

別解

2変数の3乗和から組み立てる(因数分解が「見つかる」道)。 展開して照合する(本解)と正しさは分かるが、「どうやって見つけるのか」が残る。既知の2変数の公式から組み立てる道がある。

$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ を使って、$u=x+y$ とおくと

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=u^3+z^3-3xyu-3xyz=(u^3+z^3)-3xy(u+z)$$

$u^3+z^3=(u+z)(u^2-uz+z^2)$ だから、共通因数 $(u+z)=x+y+z$ がくくり出せて

$$=(u+z)\left(u^2-uz+z^2-3xy\right)=(x+y+z)\left\{(x+y{)}^2-(x+y)z+z^2-3xy\right\}$$

中かっこを展開・整理すると $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ — (1)の右辺に到達する。

「3変数で行き詰まったら、2文字を束ねて2変数の公式に帰着させる」— この組み立ての発想は、対称式の計算全般で使える。展開照合(本解)は答案の最短、組み立ては発見の再現だ。