工夫する展開(3項の平方・公式の繰り返し)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は項が3つの2乗だ。2項の公式しか知らないと手が止まるが、3項版の公式がある。2乗3つと、掛け合わせ3つの2倍。全部で6項をそろえる。

(2)は順序の問題だ。左から機械的に掛けるのではなく、相性のよいペアを探す。

$(x-2)(x+2)$ を先に計算すれば和と差の積になる。その結果と $x^2+4$ も、また和と差の積になる。公式が2連続で使える順番を選ぶ。

(1) 3つの項の2乗の公式

$$(A+B+C{)}^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA$$

に、$A=a$、$B=2b$、$C=-3c$ を当てはめる。

$$\begin{array}{rl}(a+2b-3c{)}^2& =a^2+(2b{)}^2+(-3c{)}^2+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot 2b\cdot (-3c)+2\cdot (-3c)\cdot a\\ & =a^2+4b^2+9c^2+4ab-12bc-6ca\end{array}$$

$C=-3c$ の符号を、かけ算の中でていねいに追うこと。

(2) 先に $(x-2)(x+2)$ を計算すると、和と差のかけ算だ。

$$(x-2)(x+2)=x^2-4$$

残りの $(x^2+4)$ をかけると、これもまた和と差のかけ算の形になる。

$$(x^2-4)(x^2+4)=(x^2{)}^2-4^2=x^4-16$$

発展 — 一歩先へ。 (2)の連鎖は続けられる。$(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)$ なら $x^8-256$ だ。掛けるたびに差が消えて、次数が倍になっていく。

$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\cdots$ という「和と差の積の連鎖」は、この先も式の計算やべき乗の話題で顔を出す。

別解

(1)は、3項の公式を忘れても解ける。$a+2b$ をひとかたまりにして、2項の公式を2回使えばいい。

$A=a+2b$ とおくと、$(A-3c{)}^2=A^2-6cA+9c^2$。

あとは $A^2=(a+2b{)}^2=a^2+4ab+4b^2$ と $-6cA=-6ca-12bc$ を戻して足せば、$a^2+4b^2+9c^2+4ab-12bc-6ca$ になる。

3項の2乗は「かたまりを作って2項に落とす」で必ず処理できる。公式の丸暗記より、この落とし方を覚えておくほうが応用が利く。