3乗を含む交代式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問(2乗の版)と同じ型 — $a=b,b=c,c=a$ で消えるから、$(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。

違いは次数だ。与式は4次、$(a-b)(b-c)(c-a)$ は3次。残りは1次で、しかも $a,b,c$ の入れ替えで形が変わらない(対称)はず — 1次の対称式は $k(a+b+c)$ しかない。

あとは1つの項(たとえば $a^{3}b$)の係数を比べて $k=-1$。「因数定理で骨格、次数と対称性で残り、係数比較で仕上げ」の3段活用だ。

① 因数を見抜く。 $a=b,b=c,c=a$ で $0$ だから $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。元は $4$ 次、この因子は $3$ 次なので、残りは $1$ 次の対称式 $k(a+b+c)$。 $$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=k(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$ ② 定数 $k$ を決める。 両辺の $a^{3}b$ の係数を比べる。左辺の $a^{3}b$ の係数は $+1$(第 $1$ 項 $a^3(b-c)$)。右辺で $a^{3}b$ を作るには、$(a+b+c)$ から $a$、$(a-b)(b-c)(c-a)$ から $a^{2}b$ を取る… 展開して係数を求めると $-1$。よって $k=-1$。

③ 結論。 $$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$

まとめ $4$ 次の交代式は「$3$ 次交代式 $(a-b)(b-c)(c-a)$ × $1$ 次対称式 $(a+b+c)$」の形。定数 $-1$ を係数比較で決めて $-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$。数と式(因数分解)と対称性の融合。

発展 — 一歩先へ。 指数を上げて $a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$ にしても、骨格 $(a-b)(b-c)(c-a)$ は変わらず、商が2次の対称式 $-(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$ に育つ(次数の勘定: $5-3=2$)。「差積で割った商は対称式」という構造は何次でも続き、商の族は完全対称式と呼ばれる整った列をなす — 交代式の因数分解は、1問解けば無限に横展開できる型だ。

別解

1文字整理+組立除法で直接割り切る。 前問と同じく $a$ の多項式として整理する:

$$(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+(b^{3}c-b{c}^3)=(b-c)\left\{a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)\right\}$$

($b^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)$、$b^{3}c-b{c}^3=bc(b-c)(b+c)$ で全項から $(b-c)$ をくくった。)

中かっこは $a=b$ で $0$(代入して確認)。組立除法で $(a-b)$ で割ると、商は $a^2+ba-c(b+c)$ — これは和 $-b+\cdots$ …ではなく、たすき掛けで

$$a^2+ba-c(b+c)=(a-c)(a+b+c)$$

(積 $-c(b+c)$、和 $b=-c+(b+c)$ の分解。)まとめて

$$(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$

因数定理+次数の議論(本解)は「答えの形を先に確定」する見通しの良さ、直接割り算は「途中の商まで全部手の中」という安心感。4次でも1文字整理は破綻しない、と体で覚えておくと交代式が怖くなくなる。