数学I / 数と式

複2次式の因数分解(置き換えと平方の差)

★★★ 応用因数分解複2次式

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{4} - 13 x^{2} + 36$

(2) $x^{4} - 7 x^{2} + 9$

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(1)は $x^{2} = t$ で普通に。(2)は $x^{2} = t$ ではうまくいかない — $(x^{2} - 3)^{2}$ を展開して元の式とのずれを見ると、そのずれが『何かの2乗』になっていて、平方の差が作れる。

解答・解説

方針

(1)は $x^{2} = t$ とおけば、ふつうの2次式の因数分解になる。 $t$ を戻したあと、さらに分解する。

(2)は $t$ の式( $t^{2} - 7 t + 9$ )が因数分解できない。そこで2乗を作る。 $- 7 x^{2}$ を $- 6 x^{2}$ にすれば $(x^{2} - 3)^{2}$ が作れるので、そのぶん増やした分( $x^{2}$ )を引く。すると2乗 − 2乗の形になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は $x^{2}$ を $1$ 文字とみる置きかえで済む。

ところが(2)は、置きかえた $2$ 次式 $t^{2} - 7 t + 9$ が因数分解できない。ここで手が止まる。

そこで「平方の差を作る」に切り替える。複 $2$ 次式には『置きかえ』と『平方作り』の $2$ つの道がある。片方が塞がったらもう片方、という地図を持っておくのが発想だ。

(1) $x^{2} = t$ とおくと $t^{2} - 13 t + 36$ 。因数分解して $t$ を戻す。

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (t - 4) (t - 9) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$

$x^{2} - 4$ 、 $x^{2} - 9$ をさらに分解して

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)$

(2) $x^{4} - 7 x^{2} + 9$ は、 $x^{2} = t$ とおいても $t^{2} - 7 t + 9$ となり因数分解できない。そこで2乗を作る。 $x^{4}$ と $9$ から $(x^{2} - 3)^{2} = x^{4} - 6 x^{2} + 9$ が作れるので、まん中を $- 6 x^{2}$ にして、差の分( $- x^{2}$ )を調整する。

$x^{4} - 7 x^{2} + 9 = (x^{4} - 6 x^{2} + 9) - x^{2} = (x^{2} - 3)^{2} - x^{2}$

2乗 − 2乗の形になったので、和と差のかけ算を使う。

$(x^{2} - 3)^{2} - x^{2} = {(x^{2} - 3) + x} {(x^{2} - 3) - x} = (x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 3)$

まとめ:『 $t$ の因数分解ができないときは、2乗を作って差にする』は複2次式の大事な手だ。まん中の項を、2乗が作れる値に合わせて調整するのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 複 $2$ 次式 $x^{4} + p x^{2} + q$ が「どこまで割れるか」は、 $t = x^{2}$ の $2$ 次式 $t^{2} + pt + q$ の解で決まる。

(1)は $t = 4, 9$ とどちらも平方数だから、 $x^{2} = 4, 9$ すなわち $x = \pm 2, \pm 3$ と $4$ つの $1$ 次式にまで割れた。

(2)は $t = \frac{7 \pm 13}{2}$ で、平方数どころか有理数ですらない。だから $1$ 次式には割れず、 $2$ つの $2$ 次式で止まる。 $t$ の解の顔つきが、因数分解の“到達点”を教えてくれる。

答

(1) $(x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)$ (2) $(x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 3)$

別解

別解 — 因数の形を仮定して係数を合わせる(得意な人向けの系統的ルート)。 (2)は「平方の差」を思いつかなくても、答えの形を仮定すれば係数比較で押し切れる。

$x^{4} - 7 x^{2} + 9$ には奇数次の項がない。だから左右対称な $(x^{2} + a x + b) (x^{2} - a x + b)$ の形になると見当をつける。

展開すると

$(x^{2} + a x + b) (x^{2} - a x + b) = (x^{2} + b)^{2} - (a x)^{2} = x^{4} + (2 b - a^{2}) x^{2} + b^{2} .$

もとの式と見比べて $b^{2} = 9$ 、 $2 b - a^{2} = - 7$ 。 $b = 3$ だと $a^{2} = 13$ で整数にならない。 $b = - 3$ なら $a^{2} = 1$ 、 $a = 1$ 。

よって $(x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 3)$ 。平方の差を作る本解と同じ答えに、形を仮定するルートから着く。

ポイント

複2次式はまず $x^{2} = t$ 。分解できれば戻してさらに分解
$t$ の式が分解できないときは、2乗を作って差 $(\dots)^{2} - (\dots)^{2}$ にする
まん中の項を、2乗が作れる値に合わせて調整する

よくある間違い

(2)を「 $t$ にすると割れない」で止め、平方の差を作る工夫に進めずあきらめる。
平方の差を作るとき引く量を誤り、 $- 7 x^{2}$ を $- 6 x^{2}$ にした差 $- x^{2}$ を $- x$ や $- 2 x^{2}$ と取り違える。
(1)で $(x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$ まで出して満足し、さらに $1$ 次式へ分解するのを忘れる。