数学I / 数と式

組み合わせと置き換えで工夫する展開

★★★ 応用展開置き換え

問題

次の式を展開せよ。

(1) $(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)$

(2) $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1)$

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(1)は4つのうち2つずつ組むと『同じかたまり』が両方に出る組がある — それを置き換える。定数項の和を見て相性のいいペアを探そう。(2)は $x^{2} + 1$ を軸に『和と差の積』が繰り返せる形。

解答・解説

方針

(1)は4つのカッコを、共通のかたまりが出るようにペアで組む。定数の和が同じになる $(x - 1) (x + 6)$ と $(x + 2) (x + 3)$ を組むと、どちらも $x^{2} + 5 x$ を含む。

(2)は和と差のかけ算 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を、くり返し使う。 $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ を『 $(x^{2} + 1) + x$ 』『 $(x^{2} + 1) - x$ 』の積とみると、この形が使える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4$ つの積は、組む相手しだいで共通のかたまりが生まれる。

だから(1)は、いきなりかけずに定数項を観察する。和がそろうペアを見つけてから組むのが第一歩だ。

(2)は手前の $2$ つの因数が、和と差の積の形になっている。順にかたまりを潰していけば、公式が連鎖的に使える。

重要定数の和が同じペアを組むと同じかたまりが出る → それを

t

とおく

(1) 定数の和が同じ( $- 1 + 6 = 5$ 、 $2 + 3 = 5$ )ペアを組む。まず

$(x - 1) (x + 6) = x^{2} + 5 x - 6, (x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$

どちらにも $x^{2} + 5 x$ が現れた。 $t = x^{2} + 5 x$ とおくと、和と差のかけ算になる。

$(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) = (x^{2} + 5 x - 6) (x^{2} + 5 x + 6) = (t - 6) (t + 6) = t^{2} - 36 = (x^{2} + 5 x)^{2} - 36 = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} - 36$

(2) 和と差のかけ算を、くり返し使う。まず $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ を、 $x^{2} + 1$ をひとかたまりとして『 $(x^{2} + 1) + x$ 』『 $(x^{2} + 1) - x$ 』の積とみる。

$(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) = {(x^{2} + 1) + x} {(x^{2} + 1) - x} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = x^{4} + x^{2} + 1$

残りの $(x^{4} - x^{2} + 1)$ をかける。今度は $x^{4} + 1$ と $x^{2}$ の和と差のかけ算だ。

$(x^{4} + x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) = {(x^{4} + 1) + x^{2}} {(x^{4} + 1) - x^{2}} = (x^{4} + 1)^{2} - x^{4}$

最後に展開して

$(x^{4} + 1)^{2} - x^{4} = x^{8} + 2 x^{4} + 1 - x^{4} = x^{8} + x^{4} + 1$

まとめ:『和と差のかけ算の形を見つける』のがどちらのカギ。まん中の項をはさんで対称な形は、この形にできないか疑ってみよう。

発展 — 一歩先へ。 (2)で使った $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ は、整数の性質にも顔を出す。

$n^{4} + n^{2} + 1$ に $n = 2, 3, 4, \dots$ を入れると、いつも $(n^{2} - n + 1) (n^{2} + n + 1)$ という $2$ つの整数の積に分かれる。どちらの因数も $1$ より大きいから、 $n \geq 2$ ではけっして素数にならない。

たとえば $n = 2$ なら $21 = 3 \times 7$ 、 $n = 3$ なら $91 = 7 \times 13$ 。「和と差のかけ算に化ける式」は、素数か合成数かを見抜く道具にもなる。

答

(1) $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} - 36$ (2) $x^{8} + x^{4} + 1$

別解

別解 — 根と係数の関係で係数を直接読む(得意な人向けの高い視点)。 (1)は、組み合わせの工夫をしなくても、答えの係数を「根」から一気に出せる。

$(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)$ の値が $0$ になるのは $x = 1, - 2, - 3, - 6$ のとき。この $4$ 数が、 $4$ 次式の係数をすべて決める。

$x^{4}$ の係数は $1$ 。 $x^{3}$ の係数は $4$ 数の和にマイナスをつけた $- (1 - 2 - 3 - 6) = 10$ 。 $x^{2}$ の係数は $2$ つずつの積の和で $25$ 。 $x$ の係数は $3$ つずつの積の和にマイナスをつけた値で、これは $0$ 。定数は $4$ 数の積 $(1) (- 2) (- 3) (- 6) = - 36$ 。

よって $x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2} - 36$ 。組み方を探さなくても、根から係数がそのまま読める。本解と同じ答えだ。

ポイント

(1)は定数の和が同じペアを組み、共通の $x^{2} + 5 x$ を置きかえる
(2)は和と差のかけ算 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ をくり返す
$(x^{2} + 1) \pm x$ のように、対称な形は和と差のかけ算にできる

よくある間違い

(1)で組む相手を誤り、 $(x - 1) (x + 2)$ のように和がそろわないペアにして、共通の $x^{2} + 5 x$ が現れず行き詰まる。
(2)で和と差のかけ算の形に気づかず、 $3$ つのかっこを最初から総当たりで展開して項が爆発する。
置きかえた $t = x^{2} + 5 x$ を最後にもとへ戻し忘れ、答えを $t$ のまま書いてしまう。