数学I / 数と式

展開公式の運用(2文字・係数つき)

★★ 標準展開

問題

次の式を展開せよ。

(1) $(3 x - 2 y)^{2}$

(2) $(4 a + 5 b) (4 a - 5 b)$

(3) $(2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$

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(1)は $3 x$ ・ $2 y$ を1つの文字と見て2乗の公式。(2)は和と差の積。(3)は公式に当てはまらない — 素直に各項をかけ合わせる。どれが公式で片づき、どれが手計算かを見分けよう。

解答・解説

方針

係数や2文字がついていても、使う展開公式は基本と同じだ。

(1) $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ 。(2) $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 。(3)は公式が使えないので、1つずつ配ってかける。

コツは、 $3 x$ や $2 y$ をひとかたまりと見て、2乗するときは係数も一緒に2乗すること( $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ )。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数がつき、文字が2つに増えた。それでも最初にやることは同じで、「どの形か」を見分ける。

(1)は差の2乗。(2)は和と差の積。(3)はどの公式にも当てはまらないから、1つずつ配って掛ける。

公式を使うときは $3 x$ や $2 y$ をひとかたまりと見る。かたまりごと2乗するので、 $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ と係数も2乗される。ここを先に意識しておくと事故が減る。

公式

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(1) $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ で、 $a = 3 x$ 、 $b = 2 y$ 。

$(3 x - 2 y)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 2 y + (2 y)^{2} = 9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}$

(3x−2y)² = 9x²−6xy−6xy+4y² = 9x²−12xy+4y²

$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ のように、係数も2乗する。

(2) 和と差のかけ算 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 。

$(4 a + 5 b) (4 a - 5 b) = (4 a)^{2} - (5 b)^{2} = 16 a^{2} - 25 b^{2}$

(3) これは公式にあてはまらないので、1つずつ配ってかける。

$(2 x + 3 y) (3 x - 4 y) = 2 x \cdot 3 x + 2 x \cdot (- 4 y) + 3 y \cdot 3 x + 3 y \cdot (- 4 y) = 6 x^{2} - 8 x y + 9 x y - 12 y^{2} = 6 x^{2} + x y - 12 y^{2}$

まとめ:まん中の $x y$ の項( $- 8 x y + 9 x y = x y$ )をまとめるのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 和と差の積 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ は、数の暗算にも使える。たとえば $97 \times 103 = (100 - 3) (100 + 3) = 10000 - 9 = 9991$ 。

展開公式は「文字の式の整理術」であると同時に、「数の計算の近道」でもある。形を見抜く目は、どちらの場面でも同じように効く。

答

(1) $9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}$ (2) $16 a^{2} - 25 b^{2}$ (3) $6 x^{2} + x y - 12 y^{2}$

別解

(3)のような「公式なし」の展開は、掛け算の表を書くと取りこぼしがなくなる。

縦に $2 x$ と $3 y$ 、横に $3 x$ と $- 4 y$ を並べて、マスごとに掛ける。

$2 x \times 3 x = 6 x^{2}$
$2 x \times (- 4 y) = - 8 x y$
$3 y \times 3 x = 9 x y$
$3 y \times (- 4 y) = - 12 y^{2}$

4つのマスを全部足して $6 x^{2} - 8 x y + 9 x y - 12 y^{2} = 6 x^{2} + x y - 12 y^{2}$ 。

「左の項それぞれ × 右の項それぞれ」を表にしただけだが、符号つきの項が多いときほど書き出す効果は大きい。

ポイント

係数がついても展開公式は同じ。2乗のとき係数も2乗する
$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ (係数の2乗を忘れない)
公式が使えない形は、1つずつ配ってかけて同類項をまとめる

よくある間違い

$(3 x)^{2}$ を $3 x^{2}$ とする(係数も2乗して $9 x^{2}$ が正しい)
(2)を $(4 a - 5 b)^{2}$ と見間違えて、まん中の項を作ってしまう
(3)で $- 8 x y + 9 x y$ の足し合わせの符号を誤り、 $- 17 x y$ や $- x y$ とする