数学I / 数と式

整式の整理と次数・定数項

★ 基礎整式降べきの順

問題

次の問いに答えよ。

(1) 整式 $5 x - 3 x^{2} + 4 - 2 x + x^{2} - 9$ の同類項をまとめて降べきの順に整理し、その次数と定数項を答えよ。

(2) 整式 $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} - x + 4 y - 7$ を、 $x$ に着目して降べきの順に整理し、そのときの次数と定数項を答えよ。

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(1)は同じ種類の項( $x^{2}$ どうし・ $x$ どうし・定数どうし)を集め、次数の高い順に並べる。(2)は『 $x$ に着目』— $x^{2}$ の項・ $x$ の項・ $x$ を含まない項(これが定数項あつかい)に仕分ける。 $y$ は数だと思って。

解答・解説

方針

「降べきの順」とは、次数の高い項から低い項へ順に並べることだ( $x^{2}$ → $x$ → 定数)。

まず同類項(同じ文字・同じ次数の項)をまとめ、それから次数の順に並べる。

(2)のように文字が2種類あるときは、『 $x$ に着目』と言われたら、 $x$ を主役と見て、 $y$ を含む部分は数の仲間(定数)としてあつかう。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「整理せよ」系の問題は、手を動かす前に「何を基準に並べるのか」を確認する。基準は文字の次数 — 同類項を先に集めてから、次数の高い順(降べきの順)に並べる。

(2)のように文字が $2$ 種類あるときは、「 $x$ に着目」の指示が主役の宣言。 $x$ だけを文字とみなし、 $y$ は数の仲間(定数)としてあつかう。

主役が決まれば、(1)と同じ仕分け作業に戻る。

(1) 同類項をまとめる。 $x^{2}$ の項: $- 3 x^{2} + x^{2} = - 2 x^{2}$ 。 $x$ の項: $5 x - 2 x = 3 x$ 。定数: $4 - 9 = - 5$ 。次数の高い順に並べて

$- 2 x^{2} + 3 x - 5$

いちばん高い次数は2だから次数は2、 $x$ を含まない項が定数項 $- 5$ 。

(2) $x$ に着目するので、 $x^{2}$ の項、 $x$ の項、 $x$ を含まない項に分ける。 $x$ の項は $- 3 x y - x = - (3 y + 1) x$ 、 $x$ を含まない項は $2 y^{2} + 4 y - 7$ 。まとめて

$x^{2} - (3 y + 1) x + (2 y^{2} + 4 y - 7)$

まとめ: $x$ に着目したときの次数は2、 $x$ を含まない項 $2 y^{2} + 4 y - 7$ が定数項だ。 $y$ が入っていても、 $x$ から見れば定数のあつかいになる、というのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 「 $x$ に着目」の考え方は、この単元の文字 $2$ 種類の因数分解(次数の低い文字で整理)や、数IIの「 $x$ についての方程式とみる」「定数 $a$ を主役に取り替える」まで育っていく。どの文字を主役にするかは、解く側が選べる — この自由に気づくことが、文字式の上達の分かれ目だ。

降べきの順は「桁の大きい位から書く」数の記法と同じ発想でもある。 $253 = 2 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 10 + 3$ — 整式は「 $10$ を $x$ に置き換えた数」のように振る舞い、だからこそ整理・加減・乗法が筆算とそっくりになる。

答

(1) $- 2 x^{2} + 3 x - 5$ 、次数 $2$ 、定数項 $- 5$ (2) $x^{2} - (3 y + 1) x + (2 y^{2} + 4 y - 7)$ 、次数 $2$ 、定数項 $2 y^{2} + 4 y - 7$

別解

同類項の整理を「棚への仕分け」の絵でやると、落としも重複もなくなる。

棚を $3$ つ用意する — 「 $x^{2}$ の棚」「 $x$ の棚」「定数の棚」。式の項を、先頭から順に $1$ つずつ棚に投げ込む。

(1) $5 x - 3 x^{2} + 4 - 2 x + x^{2} - 9$ を仕分けると

$x^{2}$ の棚: $- 3 x^{2}, + x^{2}$ → 合わせて $- 2 x^{2}$
$x$ の棚: $5 x, - 2 x$ → $3 x$
定数の棚: $4, - 9$ → $- 5$

棚を左(高い次数)から読み上げて $- 2 x^{2} + 3 x - 5$ — 降べきの順が自動で完成する。

(2)のコツは、 $x$ にだけ印(丸や色)をつけること。印のついた $x^{2}, x$ と、印のない残り( $y$ の式)で棚を作れば、 $- 3 x y$ と $- x$ が同じ「 $x$ の棚」に入り( $(- 3 y - 1) x$ )、 $2 y^{2} + 4 y - 7$ がまるごと定数の棚に落ちる。「主役以外は数」という抽象的な指示が、印つけの一手で作業になる。

ポイント

降べきの順 = 次数の高い項から低い項へ並べる
まず同類項(同じ文字・同じ次数)をまとめる
「 $x$ に着目」のときは、 $x$ を含まない項( $y$ が入っていても)が定数項

よくある間違い

(2)で $y$ を含む項を定数項に入れ忘れる(『 $x$ に着目』では $y$ は定数あつかい)
同類項のまとめで、符号を間違える
(2)の次数を「 $x y$ があるから $2$ 次と $2$ 次で $4$ 次」等と誤る( $x$ に着目した次数は $x$ の指数だけで数える)