展開を用いた等式の証明と平方の和への応用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)の等式証明は、両辺を別々に展開して一致を見るのが最短。(2)は(1)をただの計算問題と切り離さず、「証明した等式は道具として使うためにある」と読む — 数の当てはめ先を探す姿勢が問われている。

(1) 左辺と右辺を、それぞれ展開する。

左辺:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2$$

右辺:

$$\begin{array}{rl}(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2& =(a^2{c}^2+2abcd+b^2{d}^2)+(a^2{d}^2-2abcd+b^2{c}^2)\\ & =a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2\end{array}$$

まん中の $2abcd$ と $-2abcd$ が消えて、左辺と同じ形になった。よって等式は成り立つ。(証明終わり)

(2) $29=5^2+2^2$、$53=7^2+2^2$ なので、(1)で $a=5,b=2,c=7,d=2$ とする。

$$(5^2+2^2)(7^2+2^2)=(5\cdot 7+2\cdot 2{)}^2+(5\cdot 2-2\cdot 7{)}^2=39^2+(-4{)}^2$$

$(-4{)}^2=4^2$ だから

$$1537=39^2+4^2$$

次に、$c$ と $d$ の割り当てを入れかえて $c=2,d=7$ とすると、別の表し方が出る。

$$(5^2+2^2)(2^2+7^2)=(5\cdot 2+2\cdot 7{)}^2+(5\cdot 7-2\cdot 2{)}^2=24^2+31^2$$

よって2通りに表せて

$$1537=39^2+4^2=24^2+31^2$$

(1)で証明した公式が、こんな数の性質にも使える、という面白い例だ。

別解

(1)の公式には、符号違いのもう1つの形もある。

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

(展開すれば同じく確かめられる。)これに $a=5,b=2,c=7,d=2$ を入れると

$$(5\cdot 7-2\cdot 2{)}^2+(5\cdot 2+2\cdot 7{)}^2=31^2+24^2$$

となり、こちらでも $24^2+31^2$ の表し方が得られる。