数学I / 数と式

ニュートンの公式による4乗和

最難関編対称式べき乗和

問題

実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 1$ 、 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ 、 $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 4$ を満たすとき、 $x^{4} + y^{4} + z^{4}$ の値を求めよ。

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べき乗和 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ が与えられている。基本対称式 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ を先に求めれば、 $p_{4}$ は $p_{3}, p_{2}, p_{1}$ から漸化式1本で出せる。 $e_{2}$ は $p_{1}, p_{2}$ から、 $e_{3}$ は $p_{3}$ から。

解答・解説

方針

基本対称式 $e_{1} = x + y + z, e_{2} = x y + y z + z x, e_{3} = x y z$ を順に求め、べき乗和 $p_{k}$ の漸化式 $p_{k} = e_{1} p_{k - 1} - e_{2} p_{k - 2} + e_{3} p_{k - 3}$ で $p_{4}$ を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 べき乗和 $p_{k} = x^{k} + y^{k} + z^{k}$ を直接いじるより、基本対称式 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ を橋渡しにするのが定石だ。

$p_{1}, p_{2}, p_{3}$ から $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ が決まる。あとは3変数のべき乗和の漸化式 $p_{k} = e_{1} p_{k - 1} - e_{2} p_{k - 2} + e_{3} p_{k - 3}$ (ニュートンの公式)で、 $p_{4}$ が一発で出る。

$x, y, z$ の具体値を求めにいかない。それがこの型の急所だ。

公式3変数のべき乗和

p_{k} = e_{1} p_{k - 1} - e_{2} p_{k - 2} + e_{3} p_{k - 3}

(ニュートンの公式)

① $e_{1}, e_{2}$ を求める。 $e_{1} = p_{1} = 1$ 。 $p_{2} = e_{1}^{2} - 2 e_{2}$ より

$3 = 1 - 2 e_{2} ⟺ e_{2} = - 1$

② $e_{3}$ を求める。 $k = 3$ で $p_{3} = e_{1} p_{2} - e_{2} p_{1} + 3 e_{3}$ :

$4 = 1 \cdot 3 - (- 1) \cdot 1 + 3 e_{3} = 3 + 1 + 3 e_{3} ⟺ e_{3} = 0$

③ $p_{4}$ を計算する。 $p_{4} = e_{1} p_{3} - e_{2} p_{2} + e_{3} p_{1}$ :

$p_{4} = 1 \cdot 4 - (- 1) \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 4 + 3 = 7$

まとめ: べき乗和は、基本対称式を経由すると漸化式で機械的に伸ばせる。 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ の3つさえ押さえれば、 $p_{4}, p_{5}, \dots$ はすべて漸化式から出る。 $x, y, z$ を解として求めにいかないのが急所だ。

発展 — 一歩先へ。 実はこの $x, y, z$ の正体は、 $0$ と $\frac{1 \pm 5}{2}$ (黄金比のペア)だ。だから $p_{k}$ の列 $1, 3, 4, 7, 11, \dots$ はリュカ数列になっている(前2つの和が次)。同じ漸化式を回すと $p_{5} = p_{4} + p_{3} = 11$ 。答えの $7$ が偶然でないことが見えてくる。

答

$7$

別解

漸化式を「その場で作る」(公式を覚えていない人へ)。 ニュートンの公式を忘れても、方程式から自力で導ける。

$e_{1} = 1, e_{2} = - 1, e_{3} = 0$ が分かった時点で、 $x, y, z$ は3次方程式

$t^{3} - t^{2} - t = 0$

の3つの解だ(解と係数の関係の逆読み)。つまり $x, y, z$ のどれもが $t^{3} = t^{2} + t$ を満たす:

$x^{3} = x^{2} + x, y^{3} = y^{2} + y, z^{3} = z^{2} + z$

両辺に $x$ (それぞれ $y, z$ )を掛けると $x^{4} = x^{3} + x^{2}$ など。3本を足し上げれば

$p_{4} = p_{3} + p_{2} = 4 + 3 = 7$

「解はみな自分の方程式を満たす。だから、べき乗和も同じ漸化式を満たす」。ニュートンの公式の中身はこれだけだ。仕組みごと理解すれば、覚える公式が1つ減る。

ポイント

$e_{1} = 1, e_{2} = - 1, e_{3} = 0$ 。
ニュートンの公式 $p_{4} = e_{1} p_{3} - e_{2} p_{2} + e_{3} p_{1}$ 。
$p_{4} = 7$ (リュカ数列 $1, 3, 4, 7, 11, \dots$ )。

よくある間違い

$x, y, z$ を実際に解こうとする。3次方程式を解かなくても、対称式の橋渡しだけで $p_{4}$ は出る。
$p_{3} = e_{1} p_{2} - e_{2} p_{1} + 3 e_{3}$ の最後の項を $e_{3} p_{0}$ と混同する( $p_{0} = 3$ なので実は同じ値になるが、 $k = 3$ の式は「 $+ 3 e_{3}$ 」と特別な形で覚えるか、 $p_{0} = 3$ を正しく使う)。
$p_{2} = e_{1}^{2} - 2 e_{2}$ の符号を取り違えて $e_{2} = + 1$ とする。 $(x + y + z)^{2} = p_{2} + 2 e_{2}$ の展開に戻って確かめる。