数と式の解説
文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月2日
「数と式」は高校数学の最初の単元で、扱う内容は整式の計算、展開、因数分解です。派手さはありませんが、ここで身につけた計算の速さと正確さは、2次関数・2次方程式はもちろん、数学IIの式と証明、数学IIIの微積分まで、毎回そのまま使われます。この記事では、この単元で本当に必要な技術は何か、どこで手が止まりやすいか、どの順に問題を解けばよいかを説明します。
展開は「公式の当てはめ」より「順序の工夫」
展開公式は、、、、、 の5つを覚えれば足ります。試験で差がつくのは公式そのものではなく、複数の因数があるときに「どれとどれを先にかけるか」の判断です。
たとえば は、順にかけると4次式の計算が2回になりますが、 と を先に作ると、どちらも を含むので置き換えで一気に片づきます。工夫して展開すると標準の工夫する展開(かけ合わせる順序)で、この「和が同じになる組を探す」判断を練習してください。3項の平方 も、公式を覚えるより「 をひとかたまりにして2項の公式を2回使う」と考えるほうが応用がききます。
因数分解は手順の順番が決まっている
因数分解でつまずく人の多くは、手順を思いついた順に試しています。順番を固定してください。
最初に共通因数でくくります。次に、項の数と次数を見て公式を当てます。2項なら平方の差、3項なら の型かたすき掛け、4項なら2項ずつ組にするか、1つの文字について整理します。それでも形が見えないときは、置き換え(たとえば )か、複2次式なら平方の差に整える変形を試します。
たすき掛けは、この単元で最も練習量がものを言う技術です。たすき掛けによる因数分解から標準の同名の問題、応用のたすき掛けによる因数分解の応用まで、係数の組を「候補を書き出して消す」やり方で、手が自動的に動くまで繰り返してください。
つまずきやすいところ
文字が2種類ある式の因数分解では、「どの文字について整理するか」で迷います。答えは「次数の低い文字で整理する」です。 が2次で が1次なら、 について整理すると の1次式になり、共通因数が見えます。文字が2種類ある式の因数分解と標準の最低次の文字で整理、応用の同じ型の3問で、この判断を固めてください。
複2次式 のような式は、 と置いても因数分解できないことがあります。そのときは のように「平方の差」に整えます。 が になるのも同じ仕組みで、整数の問題(素数判定)にもつながる大事な変形です。複2次式の因数分解、標準の同名の問題、応用の置き換えと平方の差の順に進んでください。
対称式・交代式は、 の因数分解が代表で、覚えるべき恒等式です。 のとき になるという使い方まで含めて、対称式・交代式の因数分解で確認してください。
学習の順序
基礎12問は、展開公式・共通因数・整式の整理・加減乗・工夫する展開・公式による因数分解・たすき掛け・複2次式・2文字・対称式・証明への利用の順で、この単元の型を一通り並べてあります。標準12問は同じ型を係数や文字数を増やして繰り返します。
応用8問には、展開を使った等式の証明(平方の和への応用)や、符号の統一と置き換えを組み合わせる問題が入ります。ここまでで、この単元の計算技術は完成です。難関(★★★★)以上は、因数定理で当てる対称式の因数分解、高次式の完全な因数分解、多変数の恒等式の係数比較など、数学IIの式と証明で本格的に扱う内容を先取りしています。
定期テストでの出方
定期テストでは、展開と因数分解の計算問題が大半を占め、最後に「工夫する展開」か「2文字の因数分解」が大問として出ます。基礎と標準を2周し、たすき掛けと最低次の文字で整理する型を確実にしておけば対応できます。
計算ミスを減らすには、展開したあとに を代入して両辺が一致するかを確かめる習慣が効きます。因数分解なら、結果を展開して元に戻るかを見ます。この検算は10秒で済み、符号のミスのほとんどを拾えます。
次の単元へ
次の「実数と1次不等式」では、平方根の計算と絶対値を扱います。分母の有理化は の公式そのもので、対称式の値の計算はこの単元の の変形をそのまま使います。因数分解が不安なまま進むと、2次方程式と2次不等式で解が求められなくなるので、この単元の基礎12問は確実にしてから先へ進んでください。