数学I / 数と式

たすき掛けによる因数分解の応用

★★★ 応用因数分解たすき掛け

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $12 x^{2} - 8 x y - 15 y^{2}$

(2) $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x + 5 y - 3$

ヒントを見る

(1)は係数が大きいたすき掛け — $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数の分け方を粘り強く試す。(2)は2文字+1次の項 — まず1つの文字で整理し、定数部分を先に因数分解してから、全体をたすき掛け。

解答・解説

方針

(1)は2文字のたすき掛け。 $12 x^{2}$ と $- 15 y^{2}$ をたてに分け、たすきの和が $- 8 x y$ になる組を探す。

(2)は文字が2つで項も多いが、やることは決まっている。 $x$ について整理し、定数項(= $y$ の式)をたすき掛けで分解して、全体をたすき掛けにかける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は係数の大きいたすき掛けだ。候補が多いときこそ、やみくもに試さない。

積が負なら $2$ 因数は異符号、と符号の情報で候補をしぼってから試す。

(2)は項が $6$ つある。多変数で項が多いときは「 $1$ つの文字について整理」という原則に立ち返るのが第一歩だ。

(1) $12 x^{2} = 2 x \times 6 x$ 、 $- 15 y^{2} = (- 3 y) \times 5 y$ と分けて、たすきの和が $- 8 x y$ になる組を探す。

$2 \times 5 y + 6 \times (- 3 y) = 10 y - 18 y = - 8 y$

合った。だから

$12 x^{2} - 8 x y - 15 y^{2} = (2 x - 3 y) (6 x + 5 y)$

(2x−3y)(6x+5y) = 12x²−18xy+10xy−15y² = 12x²−8xy−15y²

(2) まず $x$ について整理する。

$2 x^{2} + (5 y + 1) x + (2 y^{2} + 5 y - 3)$

定数項 $2 y^{2} + 5 y - 3$ を、たすき掛けで因数分解する。

$2 y^{2} + 5 y - 3 = (y + 3) (2 y - 1)$

次に、全体を $x$ の2次式としてたすき掛けする。 $2 x^{2}$ を $2 x \times x$ 、定数項を $(2 y - 1) \times (y + 3)$ と分け、たすきの和が $x$ の係数 $5 y + 1$ になる組を探す。

$2 \times (2 y - 1) + 1 \times (y + 3) = 4 y - 2 + y + 3 = 5 y + 1$

合った。だから

$2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x + 5 y - 3 = (2 x + y + 3) (x + 2 y - 1)$

まとめ:2段のたすき掛け(定数項で1回、全体で1回)になる。各段で『和が合うか』を必ず確かめよう。

発展 — 一歩先へ。 (1)のたすき掛けは、長方形の面積として見ると腑に落ちる。縦 $2 x - 3 y$ 、横 $6 x + 5 y$ の長方形は $4$ つの部屋に分かれ、面積は $12 x^{2}$ 、 $10 x y$ 、 $- 18 x y$ 、 $- 15 y^{2}$ となる。

まん中の $2$ 部屋の和 $10 x y - 18 x y = - 8 x y$ が、ちょうど $x y$ の係数になる。これが「たすきの和」の正体だ。

一般に $(p x + q y) (r x + sy)$ を展開すると、まん中の項は $(p s + q r) x y$ 。たすき掛けとは、この“ $2$ 部屋の和”が与えられた係数に合うように、 $4$ 数 $p, q, r, s$ を逆算する作業にほかならない。

答

(1) $(2 x - 3 y) (6 x + 5 y)$ (2) $(2 x + y + 3) (x + 2 y - 1)$

別解

別解 — 変数を取り替えて $1$ 次に化けさせる(得意な人向けの高い視点)。 (2)は、最高次 $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} = (2 x + y) (x + 2 y)$ に着目し、 $u = 2 x + y$ 、 $v = x + 2 y$ とまとめて置く。

すると $1$ 次部分 $x + 5 y$ も、この $u, v$ だけで書ける。実際 $3 v - u = 3 (x + 2 y) - (2 x + y) = x + 5 y$ だ。

だから与式全体が $u, v$ の式になる。

$2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} + x + 5 y - 3 = uv + (3 v - u) - 3 = uv - u + 3 v - 3$

これは $2$ 項ずつまとめると、 $(v - 1)$ を共通因数としてくくれる。

$uv - u + 3 v - 3 = u (v - 1) + 3 (v - 1) = (u + 3) (v - 1)$

$u = 2 x + y$ 、 $v = x + 2 y$ を戻して $(2 x + y + 3) (x + 2 y - 1)$ 。 $1$ 文字で整理してたすき掛けする本解とは別筋の、変数変換で $2$ 次式を $1$ 次のかけ算に化けさせる見方だ。本解と同じ答えに着く。

ポイント

2文字のたすき掛けは、 $x^{2}$ と $y^{2}$ の項をたてに分ける
項が多い式は $x$ について整理し、定数項( $y$ の式)を先に因数分解
全体をたすき掛けし、たすきの和が $x$ の係数と合うか確認

よくある間違い

たすきの和の符号を取り違え、 $- 8 x y$ にすべきところを $+ 8 x y$ に合わせてしまう。
(2)で定数項 $2 y^{2} + 5 y - 3$ を先に因数分解せず、 $6$ 項全体をいきなりたすき掛けしようとして手が止まる。
係数の大きい(1)で、 $12$ と $- 15$ の分け方を $1$ 通り試しただけで「できない」と早合点する。