複2次式の因数分解(平方の差に整える)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4+x^2+25$ は $3$ 項で、そのままでは割れない。「平方の差」に整えるのが定石だ。

定数 $25$ から $(x^2+5{)}^2=x^4+10x^2+25$ を作る。もとの式との差は $10x^2-x^2=9x^2=(3x{)}^2$。

だから $x^4+x^2+25=(x^2+5{)}^2-(3x{)}^2$。平方の差の公式で $(x^2+5-3x)(x^2+5+3x)$。

① 平方に近づける。 $(x^2+5{)}^2=x^4+10x^2+25$ だから、もとの式との差をとると

$$x^4+x^2+25=(x^2+5{)}^2-9x^2$$

② 平方の差にする。 $9x^2=(3x{)}^2$ なので

$$=(x^2+5{)}^2-(3x{)}^2=(x^2+5+3x)(x^2+5-3x)$$

③ 整える。

$$=(x^2+3x+5)(x^2-3x+5)$$

どちらの $2$ 次式も判別式が $9-20=-11<0$ で、有理数の範囲でこれ以上は分解できない。

まとめ:$x^4+(\text{小さい})x^2+(\text{平方})$ の形は、定数から $(x^2+p{)}^2$ を作り、余りを $(qx{)}^2$ にして平方の差にするのが定石。$x^2$ の係数がちょうど $2p-q^2$($=2\cdot 5-3^2=1$)と合うように $p,q$ を選ぶのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 「$x^4+a{x}^2+b^2$ を平方の差にする」手(ソフィー・ジェルマンの恒等式の類)は、$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ が代表例。$x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$ と一般化でき、素数判定($n^4+4$ が素数になるのは $n=1$ だけ)にも使われる。

別解

別解 — 実数の範囲で解いて$2$次因子を作る(得意な人向けの視点)。 $x^4+x^2+25=0$ の解の構造から因数を組む。$t=x^2$ とおくと $t^2+t+25=0$ で、$t=\frac{-1\pm \sqrt{-99}}{2}$(虚数)。だから実数の範囲では $2$ 次までしか割れない。

$4$ つの複素数根は、共役どうしをペアにすると実係数の $2$ 次因子になる。根の実部が $\pm \frac{3}{2}$、絶対値の$2$乗(積)が $5$ になることから、$2$ 次因子は $x^2\mp 3x+5$。

$$x^4+x^2+25=(x^2-3x+5)(x^2+3x+5).$$

平方の差 $(x^2+5{)}^2-(3x{)}^2$ に整える本解と同じ答え。定数項 $25=5\times 5$ を「両因子の定数を $5$ ずつ」と割り振り、$1$ 次の係数を $\pm 3$ にすれば $x^2$ の係数が $10-9=1$ で合う、と逆算してもよい。