数学I / 数と式

最低次の文字で整理する因数分解

★★★ 応用因数分解文字が複数の式

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{2} + x y + x + 3 y - 6$

(2) $a^{2} - 2 ab + b^{2} - c a + b c$

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文字が複数あるときは、次数がいちばん低い文字について整理すると1次式になって扱いやすい。(1)は $y$ 、(2)は $c$ について並べ替える。整理後に現れる共通因数を見つけよう。

解答・解説

2文字の式は、次数の低いほうの文字について整理する。

(1)は $y$ が1次で低いので、 $y$ について整理。(2)は $c$ が1次で低いので、 $c$ について整理する。整理すると共通因数が現れる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 多変数・項数多めの因数分解の合言葉は「最低次の文字で整理」。(1)は $y$ 、(2)は $c$ が $1$ 次 — 整理すれば、くくれる構造が自動的に浮かぶ。

重要次数の低い文字について整理してから因数分解する

(1) $y$ について整理する。

$x^{2} + x y + x + 3 y - 6 = (x + 3) y + (x^{2} + x - 6)$

$y$ を含まない部分 $x^{2} + x - 6$ は $(x + 3) (x - 2)$ に分解できる。

$x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$

すると共通の $(x + 3)$ が見える。

$(x + 3) y + (x + 3) (x - 2)$

くくって

$x^{2} + x y + x + 3 y - 6 = (x + 3) (y + x - 2) = (x + 3) (x + y - 2)$

(2) $c$ が1次で低いので、 $c$ について整理する。 $c$ を含む項は $- c a + b c = (b - a) c$ 、 $c$ を含まない項は $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ 。

$a^{2} - 2 ab + b^{2} - c a + b c = (b - a) c + (a^{2} - 2 ab + b^{2})$

$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 、そして $(b - a) c = - (a - b) c$ と符号をそろえると

$- (a - b) c + (a - b)^{2}$

共通の $(a - b)$ でくくって

$(a - b) {(a - b) - c} = (a - b) (a - b - c)$

確かめに展開すると

$(a - b) (a - b - c) = a^{2} - ab - c a - ab + b^{2} + b c = a^{2} - 2 ab + b^{2} - c a + b c$

となり、もとの式に戻る。次数の低い文字で整理すると、共通因数が見つけやすい。

答

(1) $(x + 3) (x + y - 2)$ (2) $(a - b) (a - b - c)$

(1)は $x$ について整理してもよい。

$x^{2} + (y + 1) x + 3 (y - 2)$

定数項 $3 (y - 2)$ で、たすき掛けを考える。かけて $3 (y - 2)$ 、たして $y + 1$ になる2つを探すと、 $3$ と $y - 2$ だ( $3 \times (y - 2) = 3 y - 6$ 、 $3 + (y - 2) = y + 1$ )。だから

$(x + 3) {x + (y - 2)} = (x + 3) (x + y - 2)$

と、同じ答えになる。