数学I / 数と式

たすき掛けによる因数分解

★ 基礎因数分解たすき掛け

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $2 x^{2} + 7 x + 3$

(2) $6 x^{2} - 7 x - 3$

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$x^{2}$ の係数が $1$ でないので、たすき掛け。 $x^{2}$ の係数と定数項を、それぞれ2つの数の積に分ける — その組み合わせを、たすきにかけた和が『 $x$ の係数』に合うまで試す。まず簡単な分け方から。

解答・解説

$x^{2}$ の係数が1でないときの因数分解には、たすき掛けを使う。

$(x + 3) (2 x + 1)$ のような形を目指す。 $x^{2}$ の係数(たての積)、定数項(たての積)、そして $x$ の係数(たすきにかけた和)が、ぴったり合う組を探す。

最初は何通りか試すことになるが、展開して元に戻るか確かめれば確実だ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{2}$ の係数が $1$ でない $2$ 次式は、「積と和」だけの推理では組が見つからない。

係数の分解(たての積)とまん中の係数(たすきの和)を、同時に合わせる必要がある — それを表にしたのがたすき掛けだ。

$(p x + q) (r x + s)$ の形を目指し、 $p r = (x^{2} の係数)$ 、 $q s = (定数項)$ 、 $p s + q r = (x の係数)$ を満たす組を探す。何通りか試すことになるが、展開で確かめれば確実である。

公式たすき掛け:

a x^{2} + b x + c

を

(p x + q) (r x + s)

に分け、

p s + q r = b

になる組を探す

(1) $2 x^{2} + 7 x + 3$ を因数分解する。 $2 x^{2}$ を $x \times 2 x$ 、 $3$ を $3 \times 1$ に分けて、たすきにかけた和が $x$ の係数7になる組を探す。

$1 \times 1 + 2 \times 3 = 1 + 6 = 7$

うまく7になった。だから

$2 x^{2} + 7 x + 3 = (x + 3) (2 x + 1)$

2x²+7x+3 = (x+3)(2x+1)。まん中 x+6x=7x

(2) $6 x^{2} - 7 x - 3$ 。 $6 x^{2} = 2 x \times 3 x$ 、 $- 3 = (- 3) \times 1$ と分けて、たすきの和を調べる。

$2 \times 1 + 3 \times (- 3) = 2 - 9 = - 7$

$x$ の係数 $- 7$ と合った。だから

$6 x^{2} - 7 x - 3 = (2 x - 3) (3 x + 1)$

まとめ:たすき掛けは、合う組が見つかるまで何通りか試すのがふつう。見つけたら、展開して元に戻ることを必ず確かめよう。

発展 — 一歩先へ。 たすき掛けで見つからないときは、そもそも整数の範囲で分解できない場合がある( $6 x^{2} - 7 x + 3$ など)。 $2$ 次方程式の判別式を学ぶと、「分解できるか」を試す前に判定できるようになる — 無駄な試行を切り上げる根拠が手に入る。

たすき掛けは、 $2$ 次式の因数分解の中では最も手間のかかる作業だが、この先の $2$ 次方程式・ $2$ 次関数・ $2$ 次不等式のすべてで「まず因数分解できるか」が最初の一手になる。ここでの反射神経が、数I全体の計算速度を決める。

答

(1) $(x + 3) (2 x + 1)$ (2) $(2 x - 3) (3 x + 1)$

やみくもに試す前に、符号のパターンを先に決めると候補が半分になる。

定数項の符号を見る。

(1) $2 x^{2} + 7 x + 3$ : 定数 $+ 3$ が正 → 定数側の $2$ 数は同符号。 $x$ の係数 $+ 7$ も正 → 両方プラス。試すのは $(1, 3)$ の組だけ。あとは $x^{2}$ の係数 $2$ を $1 \times 2$ に割って、たすきの和が $7$ になる並べ方を選ぶ( $1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 7$ ✓)。

$2 x^{2} + 7 x + 3 = (x + 3) (2 x + 1)$

(2) $6 x^{2} - 7 x - 3$ : 定数 $- 3$ が負 → 定数側は異符号( $+ 1$ と $- 3$ 、または $- 1$ と $+ 3$ )。 $x^{2}$ の係数 $6$ は $1 \times 6$ か $2 \times 3$ 。組み合わせを表にして、たすきの和が $- 7$ になるものを探すと $2 \cdot 1 + (- 3) \cdot 3 = - 7$ ✓。

$6 x^{2} - 7 x - 3 = (2 x - 3) (3 x + 1)$

「同符号か異符号か」を最初に決めるだけで、試す組の数が半減する。それでも複数試すのがふつう — たすき掛けは当てものではなく、絞り込み だと思えば、 $2$ 回目、 $3$ 回目の試行に心が折れない。