数学I / 数と式

整式の乗法

★ 基礎整式展開

問題

次の式を計算せよ。

(1) $- 2 x (x^{2} - 3 x + 5)$

(2) $(3 x + 2) (2 x - 5)$

(3) $(4 x - 3 y) (2 x + y)$

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(1)は1つの項を各項にかける — 符号に注意。(2)(3)は前のカッコの各項を、後ろの各項すべてに(もれなく)かけて、最後に同類項をまとめる。かけ算のもれと符号ミスが2大事故。

解答・解説

方針

整式のかけ算は、分配法則で1つずつ配ってかけていく。

(1)は単項式 × 多項式。前の $- 2 x$ を、カッコの中の各項にかける。符号に注意。

(2)(3)は多項式 × 多項式。前の2つの項を、後ろの各項にもれなくかける。かけ忘れが出ないよう、順番を決めてかけよう。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 多項式のかけ算は「前の各項を、後ろの各項にもれなく配る」だけ — だが項数が増えると抜けが出る。

配る前に、(前の項数)×(後ろの項数)で答えの項数の見当をつけておく。(2)なら $2 \times 2 = 4$ 項出るはず(まとめる前)。

配り終えて項数が合っていれば抜けなし。あとは同類項をまとめて完成だ。

(1) $- 2 x$ を、カッコの中の各項にかける。

$- 2 x (x^{2} - 3 x + 5) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 10 x$

$- 2 x \times (- 3 x) = + 6 x^{2}$ のように、マイナス×マイナスがプラスになるところに注意。

(2) $(x + a) (x + b)$ 型の公式を使うか、1つずつ配ってかける。

$(3 x + 2) (2 x - 5) = 6 x^{2} + {3 \cdot (- 5) + 2 \cdot 2} x + 2 \cdot (- 5) = 6 x^{2} + (- 15 + 4) x - 10 = 6 x^{2} - 11 x - 10$

(3x+2)(2x−5) = 6x²+4x−15x−10 = 6x²−11x−10

(3) 2種類の文字があるが、やることは同じ。1つずつ配ってかけて、同類項 $4 x y$ と $- 6 x y$ をまとめる。

$(4 x - 3 y) (2 x + y) = 8 x^{2} + 4 x y - 6 x y - 3 y^{2} = 8 x^{2} - 2 x y - 3 y^{2}$

発展 — 一歩先へ。 グリッド法の表は、実は分配法則 $a (b + c) = ab + a c$ を $2$ 回使った結果の見取り図。「かけ算の展開はなぜ全組み合わせなのか」の理由が、面積の敷き詰めとして目に見える。

検算の小技もひとつ — $x = 1$ を両辺に代入する。(2)なら左辺 $(3 + 2) (2 - 5) = - 15$ 、右辺 $6 - 11 - 10 = - 15$ ✓。係数の合計どうしが一致するはず、という原理で、展開ミスの多く(符号・かけ忘れ)が $1$ 回の代入で見つかる。

答

(1) $- 2 x^{3} + 6 x^{2} - 10 x$ (2) $6 x^{2} - 11 x - 10$ (3) $8 x^{2} - 2 x y - 3 y^{2}$

別解

かけ忘れを構造的になくす長方形の表(グリッド法)を紹介する。

(2) $(3 x + 2) (2 x - 5)$ を、縦横に項を並べた表にする — 縦に $3 x, + 2$ 、横に $2 x, - 5$ 。各マスに「縦 × 横」を書き込む。

$\times 3 x + 2 2 x 6 x^{2} 4 x - 5 - 15 x - 10$

マスは $2 \times 2 = 4$ 個 — 表の形が「もれなく」を保証する。あとは全マスを足して同類項をまとめる。

$6 x^{2} + (- 15 x + 4 x) - 10 = 6 x^{2} - 11 x - 10$

これは小学校の「かけ算の筆算を面積で描く」のと同じ絵で、 $(4 x - 3 y) (2 x + y)$ のような文字 $2$ 種類でも、 $3$ 項 $\times 3$ 項でも(マスが $9$ 個になるだけ)崩れない。展開公式は、この表の結果に名前をつけたもの — 公式が思い出せない形は、いつでも表に戻ればよい。

ポイント

かけ算は分配法則で、1つずつもれなく配ってかける
マイナス×マイナス = プラスに注意
最後に同類項(まん中の $x y$ の項など)をまとめる

よくある間違い

多項式×多項式で、かけ忘れの項が出る
$- 2 x \times (- 3 x)$ の符号を間違える(プラスになる)
文字 $2$ 種類の積で $x y$ と $y x$ を別の同類項として扱いまとめ損ねる