複2次式の因数分解(平方の差に整える)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4+x^2+1$ は $x^2=X$ とおいても $X^2+X+1$ で、有理数の範囲では割れない。複2次式の第2の定石、「平方の差を作る」に切り替える。

$(x^2+1{)}^2=x^4+2x^2+1$ と比べると、与式との差はちょうど $x^2$。だから

与式 $=(x^2+1{)}^2-x^2$ — 平方の差になり、$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ と割れる。

「置き換えで割れなければ、平方の差」— 複2次式の2枚看板を、この問題で使い分ける。

① 平方の差に整える。 $$x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1{)}^2-x^2.$$ ② 因数分解。 平方の差より $$(x^2+1{)}^2-x^2=(x^2+1+x)(x^2+1-x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

まとめ $x^4+x^2+1$ は $x^2$ を足し引きして $(x^2+1{)}^2-x^2$ の平方の差に。因数分解は $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$。$x^2$ の $2$ 次で割れなくても平方の差で割れる。数と式(因数分解)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $x^4+x^2+1$ の根は「1の6乗根のうち、2乗根・1乗根でないもの」($x^6=1$ かつ $x^2\ne 1$)。因子 $x^2+x+1$ の根が1の原始3乗根、$x^2-x+1$ の根が原始6乗根だ。「$x^n-1$ の因数分解を2通りに見比べる」技は、この円分多項式の世界の入り口で、$x^4+4$(前問)や $x^5+x+1$ など、見かけによらず割れる式の多くがこの地図の上にいる。

別解

$x^6-1$ の2通りの因数分解から(思わぬ出自)。 $x^4+x^2+1$ は、$x^6-1$ の中に住んでいる。

$x^6-1$ を2通りに割ってみる:

$$x^6-1=(x^2{)}^3-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$$

$$x^6-1=(x^3{)}^2-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$$

2つの右辺は同じものだから

$$(x^2-1)(x^4+x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ で割れば

$$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$

平方の差(本解)は手を動かす王道、$x^6-1$ 経由は「この式が6乗根の世界の住人だ」という出自の種明かし。1つの式を2通りに分解して見比べる技は、恒等式づくりの高級な道具になる。