数学I / 数と式

整式の加法・減法

★ 基礎整式加法・減法

問題

$A = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 、 $B = x^{2} + 4 x - 5$ のとき、次の式を計算せよ。

(1) $A + B$

(2) $2 A - 3 B$

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(1)は同じ種類の項どうしを足すだけ。(2)は先に $2 A$ ・ $3 B$ を作ってから引く — このとき $- 3 B$ はカッコの中の符号を全部変える、が最大の落とし穴。

解答・解説

方針

整式の足し算・引き算は、同類項(同じ次数の項)どうしをまとめるだけだ。

いちばん気をつけるのは、引き算のときの符号。 $- 3 B$ のように引くときは、カッコの中の全部の項の符号が変わる。ここでのミスがとても多い。

(2)はまず $2 A$ と $3 B$ を計算し、それから引く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 式の足し引きは同類項をまとめるだけ — と分かっていても、事故が起きるのは引き算の符号だ。

$2 A - 3 B$ を見た瞬間に「 $3 B$ の全部の項の符号が反転する」と身構える。

(2)は、先に $2 A$ と $3 B$ をそれぞれ計算してから引く — 一度に $2$ つの操作(倍と引き算)をやらないのが、ミスを減らす段取りである。

(1) 同類項をまとめる。

$A + B = (2 x^{2} - 3 x + 1) + (x^{2} + 4 x - 5) = (2 + 1) x^{2} + (- 3 + 4) x + (1 - 5) = 3 x^{2} + x - 4$

(2) まず $2 A$ 、 $3 B$ を計算する。

$2 A = 4 x^{2} - 6 x + 2, 3 B = 3 x^{2} + 12 x - 15$

次に引く。ここが大事 — $3 B$ を引くので、 $3 B$ の各項の符号が全部反対になる。

$2 A - 3 B = (4 x^{2} - 6 x + 2) - (3 x^{2} + 12 x - 15) = 4 x^{2} - 6 x + 2 - 3 x^{2} - 12 x + 15 = x^{2} - 18 x + 17$

まとめ: $- (- 15) = + 15$ のように、引き算でマイナスがプラスに変わるところを、ていねいに書こう。

発展 — 一歩先へ。 検算は数の代入が手軽だ。 $x = 1$ とすると $A = 0$ 、 $B = 0$ — これは偶然すぎて検算にならないので $x = 2$ で: $A = 3, B = 7$ 、 $2 A - 3 B = 6 - 21 = - 15$ 。答えの式は $4 - 36 + 17 = - 15$ ✓。「文字の計算は、数を入れれば数の計算で照合できる」— 整式のすべての計算に付けられる安全網である。

縦書きの発想は、整式の割り算(数IIの筆算)でそのまま主役になる。「整式は $10$ の代わりに $x$ を桁にした数」— 加減・乗法・除法のすべてが、数の筆算の焼き直しで理解できる。

答

(1) $3 x^{2} + x - 4$ (2) $x^{2} - 18 x + 17$

別解

数の筆算と同じ縦書きでやると、同類項の対応と符号が目で追えるようになる。

同類項が縦に揃うように書き並べる。(2)の $2 A - 3 B$ なら、 $2 A = 4 x^{2} - 6 x + 2$ の下に $3 B = 3 x^{2} + 12 x - 15$ を置いて、列ごとに引く。

$-) 4 x^{2} 3 x^{2} x^{2} - 6 x + 12 x - 18 x + 2 - 15 + 17$

$x^{2}$ の列: $4 - 3 = 1$
$x$ の列: $- 6 - 12 = - 18$
定数の列: $2 - (- 15) = 17$

横書きだと「どの項とどの項を組むか」を目が探し回るが、縦書きなら列が組を固定してくれる — 数の $325 - 187$ の筆算と同じ安心感だ。

引き算の符号事故( $- (- 15)$ の処理)も、「この列は $2$ 引く $- 15$ 」と 1 列 $1$ 演算に分解されるので起きにくい。項数の多い整式・係数に分数が混ざる計算ほど、縦書きの価値は上がる。

ポイント

整式の加減は、同類項(同じ次数)どうしをまとめる
引き算では、引くカッコの中の全部の符号を変える
$- (+ 12 x) = - 12 x$ 、 $- (- 15) = + 15$ を1つずつ確かめる

よくある間違い

引き算で、最初の項の符号だけ変えて残りを変え忘れる
$- (- 15)$ を $- 15$ のままにしてしまう
$2 A$ の計算で一部の項だけ $2$ 倍する(倍は全項に配る)