数学I / 数と式

たすき掛けによる因数分解

★★ 標準因数分解たすき掛け

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $3 x^{2} + 10 x + 8$

(2) $6 x^{2} - 7 x y - 5 y^{2}$

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$x^{2}$ の係数が $1$ でないのでたすき掛け。 $x^{2}$ の係数と定数項をそれぞれ2数の積に分け、たすきの和が中央の係数に合う組を探す。(2)は $y$ を含むが、やり方は同じ。

解答・解説

最高次の係数が1でないので、たすき掛けを使う。

たての積が最高次の係数と定数項、たすきの和がまん中の項の係数になる組を探す。(2)は2文字だが、やり方は同じだ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{2}$ の係数が $1$ ではない。この時点で、たすき掛けの出番だと判断する。

縦の積が「最高次の係数」と「定数項」、たすきの和が「まん中の係数」。この条件に合う組を探す。

(2)は文字が2つあるが、 $y$ を数のように扱えば同じ手順だ。 $- 5 y^{2}$ の分け方は、符号込みで試す。

公式たすき掛けで

a x^{2} + b x + c

を分解する

(1) $3 x^{2} + 10 x + 8$ 。 $3 x^{2} = x \times 3 x$ 、 $8 = 2 \times 4$ と分けて、たすきの和が10になる組を探す。

$1 \times 4 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10$

合った。だから

$3 x^{2} + 10 x + 8 = (x + 2) (3 x + 4)$

3x²+10x+8 = (x+2)(3x+4)。4x+6x=10x

(2) $6 x^{2} - 7 x y - 5 y^{2}$ 。 $6 x^{2} = 2 x \times 3 x$ 、 $- 5 y^{2} = y \times (- 5 y)$ と分けて、たすきの和が $- 7 y$ になる組を探す。

$2 \times (- 5 y) + 3 \times y = - 10 y + 3 y = - 7 y$

合った。だから

$6 x^{2} - 7 x y - 5 y^{2} = (2 x + y) (3 x - 5 y)$

まとめ:2文字でも、たすき掛けの手順は1文字のときと変わらない。見つけたら展開して確かめよう。

発展 — 一歩先へ。 たすき掛けで見つかる分解は、2次方程式の解と表裏一体だ。解の公式で解を求めてから分解する方法を学ぶと、どんな2次式でも(整数の組が無くても)分解の正体がわかるようになる。

どう試しても組が見つからないときは、「整数や分数の範囲では分解できない」サインであることが多い。その最終判定を引き受けるのが、2次方程式の単元で学ぶ判別式だ。

答

(1) $(x + 2) (3 x + 4)$ (2) $(2 x + y) (3 x - 5 y)$

たすきの表がどうも合わない、という人には「まん中を分ける」方法もある。

(1)なら、まず $3 \times 8 = 24$ を計算する。掛けて $24$ 、足して $10$ になる2数を探すと、 $6$ と $4$ だ。

まん中の $10 x$ を $6 x + 4 x$ に分けて書き直す。 $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ 。

前半と後半で別々にくくると $3 x (x + 2) + 4 (x + 2)$ 。共通の $(x + 2)$ でくくって $(x + 2) (3 x + 4)$ 。

中身はたすき掛けと同じだが、「掛けて◯・足して◯の2数を探す」感覚は係数 $1$ の因数分解と地続きなので、こちらのほうが入りやすい人も多い。