複2次式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4$ と $x^2$ しかない式は、$x^2$ をひとかたまりに見れば $2$ 次式に見えてくる — 見た目の次数に惑わされず「実質 $2$ 次」と見抜くのが第一手だ。

$x^2=t$ とおくと $x^4=t^2$。$t$ の $2$ 次式として因数分解し、最後に $t$ を $x^2$ に戻す。

戻したあとが本当の勝負 — $x^2-4$ のように、まだ分解できる因数が残っていないかを必ず点検する。

(1) $x^2=t$ とおくと、$x^4=t^2$ なので $t^2-5t+4$。これを因数分解する。

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

$t$ を $x^2$ に戻すと

$$(x^2-1)(x^2-4)$$

ここで止めない。$x^2-1$ も $x^2-4$ も、和と差のかけ算でさらに分解できる。

$$x^4-5x^2+4=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$$

(2) $x^4-16=(x^2{)}^2-4^2$ とみて、$x^2=t$ とおくと $t^2-16$。

$$t^2-16=(t+4)(t-4)$$

$t$ を戻すと $(x^2+4)(x^2-4)$。$x^2-4$ はさらに分解できる($x^2+4$ はこれ以上分解できない)。

$$x^4-16=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$

まとめ:複2次式のポイントは、$t$ を戻したあとに「まだ分解できないか」を必ず確かめること。ここで止めてしまうミスが多い。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 乗の和は分解できない」は実数の範囲ではの話。数IIで虚数 $i$($i^2=-1$)を学ぶと $x^2+4=(x+2i)(x-2i)$ と割れてしまう — 「分解できるか」は、どの数の世界で考えるかで変わる。数の世界が広がると、分解の限界も動く。

検算は数の代入で。(1)に $x=3$ を入れると元の式は $81-45+4=40$、答えは $4\cdot 2\cdot 5\cdot 1=40$ ✓。$4$ 因数もの分解でも、$1$ 回の代入で全体をチェックできる。

別解

「これ以上分解できるか」の点検を、因数の顔つきで仕分けると迷わない。

分解を終えた後、残った $2$ 次因数を $1$ つずつ眺める。

• $x^2-a^2$($2$ 乗の差): 分解できる → $(x+a)(x-a)$
• $x^2+a^2$($2$ 乗の和): これ以上できない(実数の範囲では)

(1)で $t$ を戻した $(x^2-1)(x^2-4)$ は、両方とも「差」— だからどちらも割れて $4$ 因数になる。

$$(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$$

(2)の $x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)$ は、片方が「和」、片方が「差」。差だけが割れて

$$(x^2+4)(x+2)(x-2)$$

$x^2+4$ は残す — $(x+2{)}^2$ などと無理に分解すると展開して $x^2+4x+4$ になり別物だ($1$ 度でも試せば分かる)。

「和は割れない、差は割れる」— この $1$ 行の判定表を持てば、複2次式の最後の詰めで手が止まらない。