工夫する展開(かけ合わせる順序)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 4つのカッコを左から順に掛けると、項があふれて手に負えなくなる。

そこで思い出したいのは、掛け算は順序を選べるということだ。どの2つを先に組むかは、こちらの自由。

狙いは「共通のかたまりが現れる組み方」だ。定数どうしの和が等しくなるペアを組むと、同じかたまりが2回出る。$1+(-2)$ と $3+(-4)$ はどちらも $-1$。だから $(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ を組めば、$x^2-x$ が共通に現れる。

かける順番を工夫して、2つずつ組む。$(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ を先に計算すると

$$(x+1)(x-2)=x^2-x-2,(x+3)(x-4)=x^2-x-12$$

どちらにも $x^2-x$ が現れた。これを $t=x^2-x$ とおくと

$$\begin{array}{rl}(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)& =(t-2)(t-12)\\ & =t^2-14t+24\end{array}$$

$t$ をもとに戻して展開する。

$$\begin{array}{rl}& =(x^2-x{)}^2-14(x^2-x)+24\\ & =x^4-2x^3+x^2-14x^2+14x+24\\ & =x^4-2x^3-13x^2+14x+24\end{array}$$

まとめ:ポイントは、共通のかたまりが出るようにペアを組むこと。定数どうしの積・和を見て、$x^2-x$ がそろうように $(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ を選んだ。

発展 — 一歩先へ。 「定数の和が等しいペアを組む」工夫は、グラフの言葉でいうと、4つの1次式のずらしを左右対称にそろえる操作になっている。真ん中をそろえるから、同じかたまりが現れる。

数学IIで4次方程式を解くときにも、この組み方がそのまま定石として使える。

別解

力がついてきたら、「展開の意味」から係数を直接求める方法もある。

展開とは、各カッコから項を1つずつ選んで掛け、すべての選び方を足し合わせることだ。カッコの定数は $1$、$3$、$-2$、$-4$ の4つ。

• $x^4$ の項: 4つとも $x$ を選ぶ。係数は $1$
• $x^3$ の項: 定数を1つだけ選ぶ。$1+3-2-4=-2$
• $x^2$ の項: 定数を2つ選ぶ。$1\cdot 3$、$1\cdot (-2)$、$1\cdot (-4)$、$3\cdot (-2)$、$3\cdot (-4)$、$(-2)(-4)$ の和で $3-2-4-6-12+8=-13$
• $x$ の項: 定数を3つ選ぶ。$-6-12+8+24=14$
• 定数項: 4つ全部の積 $1\cdot 3\cdot (-2)\cdot (-4)=24$

合わせて $x^4-2x^3-13x^2+14x+24$。

書く量は多く見えるが、ペア組みに気づけなくても確実に届く。なにより「展開=選んで掛けて足す」という仕組みそのものが身につく。