展開・因数分解を利用した証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 証明問題でも、やることは計算と同じ — ゴールの形を先に式で書いておく。

ゴールは「奇数の $2$ 乗」。奇数は $2(\text{整数})+1$ の形だから、目指す形は $(\text{奇数}{)}^2$ — つまり「与えられた式を展開・整理して、何かの $2$ 乗に変形する」が道筋になる。

$2n(2n+2)+1$ を展開すると $4n^2+4n+1$ — この形、$(2n+1{)}^2$ の展開そのものだ。ゴールから逆算する目があれば、変形の行き先に迷わない。

連続する2つの偶数 $2n$、$2n+2$ の積に1を足した式を、展開して整理する。

$$\begin{array}{rl}2n(2n+2)+1& =4n^2+4n+1\\ & =(2n{)}^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2\\ & =(2n+1{)}^2\end{array}$$

$4n^2+4n+1$ が、$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ の形($a=2n$、$b=1$)になっていることに気づくのがポイントだ。

ここで $2n+1$ は、偶数 $2n$ に1を足した数だから奇数。だから $2n(2n+2)+1=(2n+1{)}^2$ は、奇数 $2n+1$ の2乗になっている。

よって、連続する2つの偶数の積に1を足すと奇数の2乗になることが示された。(証明終わり)

発展 — 一歩先へ。 別解の「まん中の $2$ 乗」の見方を使うと、親戚の命題が次々に証明できる。連続する $2$ つの奇数($m-1,m+1$ で $m$ は偶数)の積に $1$ を足しても $m^2$ — つまり偶数の $2$ 乗。さらに「差が $2k$ の $2$ 数の積 $+k^2$ はまん中の $2$ 乗」と一般化できる。

証明の作法もここで押さえたい。「$n$ を整数とする」と文字で置くことが、無限個の場合を一度に扱う仕掛けだ。数値実験は発見のための道具、文字式は証明のための道具 — 役割を分けて両方使うのが、数学の正しい進め方である。

別解

この命題、具体的な数で実験してから見ると、正体が驚くほど素朴になる。

$$2\times 4+1=9=3^2,4\times 6+1=25=5^2,6\times 8+1=49=7^2$$

$3,5,7$ — 出てくる奇数は、いつもかけた $2$ 数のまん中の数だ($2$ と $4$ のまん中が $3$、$4$ と $6$ のまん中が $5$)。

種明かしは、まん中の数 $m$ を主役にする視点にある。連続する $2$ つの偶数は、$m$ を挟んで $m-1$ と $m+1$。積に $1$ を足すと

$$(m-1)(m+1)+1=m^2-1+1=m^2$$

和と差の積の公式そのもの — $-1$ と $+1$ がぴったり打ち消し合って、まん中の数の $2$ 乗だけが残る。

本解の $2n(2n+2)+1=(2n+1{)}^2$ は、$m=2n+1$ とおいたこの計算の変装だった。

「まん中を主役にすると対称になる」— 対称性を利用して式を簡単にする、数学の常套手段の最小例である。実験 → まん中の発見 → 公式で証明、という流れを一度体験しておくと、証明問題への構えが変わる。