数学I / 数と式

符号の統一と置き換え・共通因数

★★★ 応用因数分解共通因数置き換え

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8$

(2) $3 (a - b) x^{2} + 12 (b - a) y^{2}$

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(1)は $2 y - x$ と $x - 2 y$ が符号違いの同じもの — そろえて1文字に置き換える。(2)は $12 (b - a)$ の符号を $a - b$ にそろえると共通因数 $3 (a - b)$ が出て、残りが2乗の差。

解答・解説

どちらも『符号をそろえる』のがカギだ。

(1)は $6 (2 y - x)$ の中身が、 $(x - 2 y)^{2}$ の中身と符号が逆。 $2 y - x = - (x - 2 y)$ と直すと、 $x - 2 y$ が共通のかたまりになり、置きかえで2次式になる。

(2)は $12 (b - a) y^{2}$ の $b - a$ が、 $3 (a - b) x^{2}$ の $a - b$ と符号が逆。 $b - a = - (a - b)$ と直すと、共通因数 $3 (a - b)$ が見える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの式に共通するのは「符号が逆のかたまり」だ。

(1)なら $2 y - x$ と $x - 2 y$ 、(2)なら $b - a$ と $a - b$ 。どちらも $- (\dots)$ で向きをそろえられる。

$2 y - x = - (x - 2 y)$ と書きかえると、バラバラに見えた式の景色がそろう。まず「同じ向き」にそろえる、という下ごしらえが発想だ。

重要符号をそろえて共通のかたまりを作る:

2 y - x = - (x - 2 y)

で

(x - 2 y)

に統一

(1) $6 (2 y - x)$ の中身を、 $(x - 2 y)^{2}$ に合わせる。 $2 y - x = - (x - 2 y)$ なので

$(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8 = (x - 2 y)^{2} - 6 (x - 2 y) + 8$

$x - 2 y = t$ とおくと、見なれた2次式だ。

$t^{2} - 6 t + 8 = (t - 2) (t - 4)$

$t$ を戻して

$(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8 = (x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$

(2) $12 (b - a) y^{2}$ を、 $3 (a - b) x^{2}$ に符号を合わせる。 $b - a = - (a - b)$ なので

$3 (a - b) x^{2} + 12 (b - a) y^{2} = 3 (a - b) x^{2} - 12 (a - b) y^{2}$

共通因数 $3 (a - b)$ でくくると

$3 (a - b) (x^{2} - 4 y^{2})$

カッコの中 $x^{2} - 4 y^{2}$ は和と差のかけ算でさらに分解できる。

$3 (a - b) x^{2} + 12 (b - a) y^{2} = 3 (a - b) (x + 2 y) (x - 2 y)$

まとめ:符号が逆のかたまりを見たら、 $- (\dots)$ でそろえる。これが両方に共通のコツだ。

発展 — 一歩先へ。 (1)の答え $(x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$ を $= 0$ とおくと、 $x - 2 y = 2$ と $x - 2 y = 4$ という $2$ 本の直線を表す。どちらも $x - 2 y$ が一定の、平行な直線だ。

$X = x - 2 y$ という置きかえは、この平行な直線の族を「 $X$ 軸上の $2$ 点 $X = 2, 4$ 」に押しつぶして見る操作にあたる。 $2$ 変数の話が $1$ 変数に落ちるのは、この平行性のおかげだ。

共通のかたまりを $1$ 文字におく手筋は、こうして「同じ方向をもつ図形」を見つける目とも結びついている。

答

(1) $(x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$ (2) $3 (a - b) (x + 2 y) (x - 2 y)$

別解 — 展開して $x$ の $2$ 次式として組む(苦手な人向けの正攻法)。 置きかえが思いつかないときは、(1)をぜんぶ展開して $x$ で整理してしまえばよい。

$(x - 2 y)^{2} + 6 (2 y - x) + 8 = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} - 6 x + 12 y + 8$ 。 $x$ について整理すると

$x^{2} - (4 y + 6) x + (4 y^{2} + 12 y + 8) .$

定数部分は $4 y^{2} + 12 y + 8 = (2 y + 2) (2 y + 4)$ と割れる。この $2$ つの和 $(2 y + 2) + (2 y + 4) = 4 y + 6$ が、 $x$ の係数とぴたり合う(たすき掛け)。

よって $(x - 2 y - 2) (x - 2 y - 4)$ 。ブロックの置きかえ(本解)に気づかなくても、展開して整理すれば同じ答えにたどり着く。