数学I / 数と式

整式の整理と加法・減法の応用

★★★ 応用整式の整理加法・減法

問題

(1) 整式 $P = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + x^{2} - 5 x y + 4 y^{2} - x + 2 y - 7$ を、 $x$ に着目して降べきの順に整理せよ。また、そのときの $x$ についての次数と定数項を答えよ。

(2) 2つの整式 $A$ 、 $B$ が

$A + 2 B = 7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5, 2 A - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$

を満たすとき、 $A$ 、 $B$ を求めよ。

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(1)は $x$ について $x^{2}$ ・ $x$ ・定数部分に仕分けるだけ(係数が $y$ の式になる)。(2)は $A$ ・ $B$ をどう組み合わせると片方が消えるか — 消したい文字の係数に注目して、うまい倍率で足す。

解答・解説

方針

(1)は $x$ について整理するだけ。 $y$ が入っていても、 $x$ から見れば $y$ は数の仲間(定数)としてあつかう。

(2)は $A$ 、 $B$ の連立だ。数の連立方程式と同じように、うまく足し引きして片方を消す。 $A + 2 B$ と $2 A - B$ を組み合わせて、まず $A$ (または $B$ )だけの式を作る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は主役の $x$ 以外の文字を、数として扱う訓練だ。 $y$ が混じっていても、 $x$ から見れば $y$ はただの数と思えばよい。

(2)は $A$ 、 $B$ についての連立だ。中身が整式でも、やることは数の連立と変わらない。

足し引きで片方の文字を消す、という消去の考え方がそのまま使える。そう見抜くのが発想だ。

(1) $x$ について整理する。 $x^{2}$ の項の係数は $3 y + 1$ 、 $x$ の項の係数は $- (2 y^{2} + 5 y + 1)$ 、 $x$ を含まない項は $4 y^{2} + 2 y - 7$ 。

$P = (3 y + 1) x^{2} - (2 y^{2} + 5 y + 1) x + (4 y^{2} + 2 y - 7)$

$x$ についての次数は2、定数項は $4 y^{2} + 2 y - 7$ 。 $y$ が入っていても、 $x$ から見れば定数だ。

(2) $A$ 、 $B$ の連立を、足し引きで解く。 $B$ を消すために、 $(A + 2 B) + 2 \times (2 A - B)$ を作ると、 $2 B$ と $- 2 B$ が消えて $A$ だけになる。

$(A + 2 B) + 2 (2 A - B) 5 A = (7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) + 2 (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5) = 15 x^{3} + 5 x^{2} + 10 x + 5$

両辺を5で割って

$A = 3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$

$B$ は、 $2 A - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$ を $B$ について解く( $B = 2 A - (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5)$ )。

$B = 2 (3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1) - (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5) = 6 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 2 - 4 x^{3} - 3 x^{2} - x - 5 = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$

確かめに $A + 2 B$ を計算すると

$A + 2 B = (3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1) + (4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 6) = 7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5$

となり、問題の式と合う。整式の連立も、数の連立とまったく同じ要領で解ける。

発展 — 一歩先へ。 (2)で $A$ 、 $B$ が一通りに求まったのは、 $A + 2 B$ と $2 A - B$ という $2$ つの組み合わせが「独立」だったからだ。

一般に、 $A$ 、 $B$ の $2$ つの $1$ 次結合が与えられたとき、そこから $A$ 、 $B$ を復元できるかは、係数の作る行列式で決まる。今回は $1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2 = - 5$ で $0$ でないから、ちょうど一組に定まった。

もし $2$ つの組み合わせが $A + 2 B$ と $2 A + 4 B$ のように比例していると、行列式が $0$ になり、 $A$ 、 $B$ は復元できない。連立が解ける・解けないの境目が、この行列式に表れている。

答

(1) $P = (3 y + 1) x^{2} - (2 y^{2} + 5 y + 1) x + (4 y^{2} + 2 y - 7)$ 、 $x$ についての次数は $2$ 、定数項は $4 y^{2} + 2 y - 7$ (2) $A = 3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$ 、 $B = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$

別解

別解 — 代入法で解く(連立のもう一つの定番)。 本解は足し引きで片方を消す加減法だった。ここでは、片方を表してもう一方の式に入れる代入法で解く。

まず $A + 2 B = 7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5$ を $A$ について解く。

$A = (7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) - 2 B$

これを $2 A - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$ に入れると、 $A$ が消えて $B$ だけの式になる。

$2 {(7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) - 2 B} - B = 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5$

左辺を整理すると $(14 x^{3} - 2 x^{2} + 16 x - 10) - 5 B$ 。これが右辺に等しいので

$5 B = (14 x^{3} - 2 x^{2} + 16 x - 10) - (4 x^{3} + 3 x^{2} + x + 5) = 10 x^{3} - 5 x^{2} + 15 x - 15$

両辺を $5$ で割って $B = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ 。あとは $A = (7 x^{3} - x^{2} + 8 x - 5) - 2 B = 3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$ 。

本解は $A$ を先に取り出したが、代入法では $B$ が先に出る。消去と代入、どちらの筋でも同じ答えに着く。

ポイント

$x$ に着目 → $y$ は定数あつかいで整理
整式の連立は、数の連立と同じく足し引きで片方を消す
求めた後は、もとの式に代入して確かめる

よくある間違い

(2)で消したい文字の係数をそろえずに足し引きし、 $A$ も $B$ も残ってしまう。
(1)で $x$ の $1$ 次の係数を $- (2 y^{2} + 5 y + 1)$ とすべきところ、かっこ前のマイナスを配り忘れて符号を落とす。
$A$ だけ求めて安心し、 $B$ を出す・求めた式をもとに戻して検算する、を省いてミスに気づかない。