2種類の文字を含む2次式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 文字の $2$ 次式は、片方の文字について降べきに整理するのが基本だ。$x$ を主役にする。

$x^2+(3y+2)x+(2y^2+3y+1)$。定数項 $2y^2+3y+1$ を因数分解すると $(2y+1)(y+1)$。

あとはたすき掛け。$2$ 因数 $(y+1)$ と $(2y+1)$ の和が $x$ の係数 $3y+2$ に一致するかを確かめれば、$(x+y+1)(x+2y+1)$ と分かる。

① $x$ について整理する。

$$x^2+(3y+2)x+(2y^2+3y+1)$$

② 定数項を因数分解する。 $2y^2+3y+1=(2y+1)(y+1)$。

③ たすき掛けで組む。 $x^2+(和)x+(積)$ の形なので、積が $(2y+1)(y+1)$、和が $x$ の係数 $3y+2$ になる $2$ つを探す。いま

$$(2y+1)+(y+1)=3y+2$$

とぴたり一致する。よって

$$x^2+(3y+2)x+(2y^2+3y+1)=(x+2y+1)(x+y+1)$$

まとめ:「$1$ 文字で整理 → 定数項(他方の文字の式)を因数分解 → たすき掛け」が $2$ 変数因数分解の型。定数項の $2$ 因数の和が中央の係数に一致するかどうかが、成否の分かれ目になる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 変数 $2$ 次式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f$ が $2$ 直線に分解する条件は、判別式(行列式)$\left|\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right|=0$。この式が $2$ 直線を表すか、楕円・放物線・双曲線かは、この行列式が判定する($2$ 次曲線の分類)。

別解

別解 — 定数項を$0$にする$2$本の直線として見る(得意な人向けの視点)。 $2$ 次式 $=0$ が表す図形(この場合は $2$ 直線)から因数を読む。

$x^2+3xy+2y^2+2x+3y+1=0$ が $2$ 本の直線に分解するなら、その式は $(x+py+q)(x+ry+s)$ の形。最高次 $x^2+3xy+2y^2=(x+y)(x+2y)$ から $p=1,r=2$。

定数まわりは、$y=0$ とおいた $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ から、両因子とも $x$ の定数部分が $+1$。よって $(x+y+1)(x+2y+1)$。

$y=0$ の切り口で定数部分を、$2$ 次の部分で $y$ の係数を、と「別々の断面」で係数を決める。降べき整理のたすき掛け(本解)と同じ結果に、図形的な見方から着く。