交代式の因数分解(次数と対称性で決める)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3文字の入り組んだ式は、1つの文字(たとえば $a$)についての多項式として整理し直すのが第一手。

さらに強力なのが因数定理の目だ。$a=b$ を代入すると、式は $b^2(b-c)+b^2(c-b)=0$ — 消える。つまり $(a-b)$ を因数にもつ。対称性から $(b-c),(c-a)$ も同じ。

与式は3次、$(a-b)(b-c)(c-a)$ も3次。だから残りは定数 $k$ だけで、1つの項(たとえば $a^{2}b$ の係数)を比べれば $k=-1$ と決まる。

① 因数を見抜く。 $a=b$ を代入すると式は $0$。同様に $b=c,c=a$ でも $0$。よって $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。元の式も $(a-b)(b-c)(c-a)$ も $a,b,c$ について $3$ 次だから $$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a).$$ ② 定数 $k$ を決める。 両辺の $a^{2}b$ の係数を比べる。左辺の $a^{2}b$ の係数は $+1$(第 $1$ 項 $a^2(b-c)$ から)。右辺 $(a-b)(b-c)(c-a)$ を展開したときの $a^{2}b$ の係数は $-1$。よって $1=k\cdot (-1)$、$k=-1$。

③ 結論。 $$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).$$

まとめ 交代式は $a=b$ 等で $0$ になることから $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。次数がそろうので定数倍だけを $1$ 項の係数比較で決める。答えは $-(a-b)(b-c)(c-a)$。数と式(因数分解)と対称性の融合。

発展 — 一歩先へ。 「$a=b$ で消える ⟹ $(a-b)$ で割り切れる」という因数定理の使い方は、文字が増えても威力が落ちない万能の骨格取りだ。交代式(文字の入れ替えで符号が反転する式)は必ず差積 $(a-b)(b-c)(c-a)$ で割り切れ、商は対称式になる — 本問はその最小の実例で、次の問題(3乗の版)で商が $a+b+c$ に育つ。

別解

1文字について整理して、たすき掛けで直接割る(因数定理を使わない)。 $a$ の2次式として展開・整理する:

$$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+(b^{2}c-b{c}^2)$$

ここで第2項は $(b-c)(b+c)$、第3項は $bc(b-c)$ — 全部の項が $(b-c)$ を持っている。くくり出すと

$$=(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+bc\right\}$$

中身は $a$ の2次式で、和が $b+c$・積が $bc$ — たすき掛け(解と係数)で $(a-b)(a-c)$。よって

$$=(b-c)(a-b)(a-c)=-(a-b)(b-c)(c-a)$$

因数定理(本解)は「先に骨格を言い当てる」思考の型、1文字整理は「手を動かせば3行で割り切れる」計算の型。答えの符号の整え方($(a-c)=-(c-a)$)まで、直接計算のほうが迷いにくい人も多い。