文字が2種類ある式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字が $2$ 種類あると、どこから手をつけるか迷う。迷ったら「次数の低いほうの文字について整理する」。

低い文字なら整理後の形が単純で、共通因数が浮かび上がりやすいからだ。

(1)は $a$ も $b$ も $1$ 次 — どちらでもよいが、$b$ でくくってみる。(2)は $y$ が $1$ 次で $x$ が $2$ 次 → $y$ を主役に整理する。この選択が、解けるか詰まるかを分ける。

(1) $b$ を含む項と含まない項に分けて、$b$ でくくる形にそろえる。

$$ab+b+2a+2=(a+1)b+2(a+1)$$

両方の項に共通の $(a+1)$ が出てきた。これでくくれる。

$$ab+2a+b+2=(a+1)(b+2)$$

(2) $y$ が1次で次数が低いので、$y$ について整理する。$y$ を含む項は $xy+y=(x+1)y$、$y$ を含まない項は $x^2+2x+1$。

$$x^2+xy+2x+y+1=(x+1)y+(x^2+2x+1)$$

ここで $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ に気づく。

$$(x+1)y+(x+1{)}^2$$

共通の $(x+1)$ でくくって

$$=(x+1)\{y+(x+1)\}=(x+1)(x+y+1)$$

まとめ:ポイントは、次数の低い文字($y$)について整理すると、共通のかたまりが見つけやすいこと。

発展 — 一歩先へ。 「次数の低い文字で整理」の原理はこうだ — $y$ について $1$ 次なら、式は必ず「($x$ の式)$\times y$ + ($x$ の式)」の形に書ける。$1$ 次式は「係数」と「定数」の $2$ 部品しかないので、共通因数を探す場所が $2$ か所に限定される。次数が高い文字を主役にすると部品が増え、探す場所も増える — 迷子になる理由はここにある。

この整理術は、数IIの「$a$ について整理して因数定理」「$3$ 文字の対称式」まで持ち上がる。どの文字を主役に据えるかは、解く側が選べる自由 — その自由をうまく使うことが、文字式を扱う力そのものである。

別解

答えの形を、具体的な数で当たりをつけてから確かめる、という逆向きの攻め方もある。

(1) $ab+2a+b+2$ に $a=1,b=1$ を入れると $1+2+1+2=6$。答えが $(\text{何か})(\text{何か})$ の形なら、$6=2\times 3$ 的な分解になるはず。

答え $(a+1)(b+2)$ を同じ数で検分すると $(1+1)(1+2)=2\times 3=6$ ✓ — 一致する。

これは「答えの発見法」ではなく、強力な検算法だ。文字 $2$ 種類の因数分解は符号やくくり方でミスが出やすいので、$(a,b)=(1,1)$ と $(2,3)$ など $2$ 組ほど代入して両辺の数が合うかを見る。$2$ 組で合えば、まず間違いない。

(2)も $(x,y)=(1,1)$ で: 元の式 $1+1+2+1+1=6$、答え $(1+1)(1+1+1)=2\times 3=6$ ✓。

文字の式は、数を入れれば数の式 — この当たり前を検算に使えるようになると、因数分解の答えに自信が持てる。