ネスビットの不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母がバラバラで、直接は評価しにくい。鍵は、各項に $1$ を足して分子をそろえることだ。

$\frac{a}{b+c}+1=\frac{a+b+c}{b+c}$。3項すべてで、分子が $s=a+b+c$ に統一される。すると左辺 $+3$ は「$s$ × 分母の逆数の和」になり、有名不等式 $(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$ に乗る。

① 各項に $1$ を足す。 $s=a+b+c$ とおくと

$$\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)=\frac{s}{b+c}+\frac{s}{c+a}+\frac{s}{a+b}$$

すなわち(左辺)$+3=s\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)$。

② 有名不等式で評価する。 $x=b+c,y=c+a,z=a+b$ とおくと $x+y+z=2s$。相加相乗より

$$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9⟹2s\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge 9$$

よって $s\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge \frac{9}{2}$。

③ 結論。 (左辺)$+3\ge \frac{9}{2}$ だから

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$$

等号は $x=y=z$、すなわち $a=b=c$ のとき。

まとめ: 「各項に $1$ を足して分子をそろえる」細工で、扱いにくい和を有名不等式 $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\ge 9$ に帰着させる。足した $3$ を最後に引いて $\frac{3}{2}$ が出る。ネスビットの不等式と呼ばれる名品だ。

発展 — 一歩先へ。 変数を増やしても同じ細工が通る。正数 $a_1,\dots ,a_n$($n\ge 2$)と $s=a_1+\cdots +a_n$ について $\sum \frac{a_i}{s-a_i}\ge \frac{n}{n-1}$ が成り立つ($n=3$ が本問)。「+1 で分子をそろえる」は、この一族全体を貫く一手だ。

別解

分子を2乗の形に直して評価する(得意な人向け)。 各項の分子を2乗にそろえる書き換えから始める、別の定石もある。

$$\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{a(b+c)}=\frac{a^2}{ab+ac}$$

これを使うと、$q=ab+bc+ca$ として

$$\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+cb}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{s^2}{2q}$$

あとは $s^2\ge 3q$(展開すれば $\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}\ge 0$)から

$$\frac{s^2}{2q}\ge \frac{3q}{2q}=\frac{3}{2}$$

等号はどちらの不等式でも $a=b=c$。

「分子を2乗にして一気に足す」このコーシー・シュワルツの型は、分数の和の下からの評価の万能ナイフだ。数IIの式と証明で本格的に登場するが、姿だけ先に知っておくと世界が広がる。