数学I / 数と式

公式による因数分解

★ 基礎因数分解公式

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{2} + 10 x + 25$

(2) $9 a^{2} - 16 b^{2}$

(3) $x^{2} - 3 x - 18$

ヒントを見る

展開の公式を逆向きに使う。(1)は定数が平方数で、まん中の項がその $2$ 倍 — 何かの2乗に見えないか。(2)は2つの平方の差。(3)は『かけて定数項・たして $1$ 次の係数』の2数を探す形。

解答・解説

方針

因数分解は展開の逆だ。展開の公式を、逆向きに使う。

3つの形を見分けよう。(1) $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ (2乗の形)。(2) $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ (2乗 − 2乗)。(3) $x^{2} + (和) x + (積)$ の形は $(x + p) (x + q)$ 。

(3)は、かけて定数項・たして $x$ の係数になる2数 $p, q$ を探すのがコツ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解は展開の逆再生。与えられた式を見て「これはどの展開公式の結果か」を推理する。

手がかりは項の数と符号だ。 $2$ 乗が $2$ つとまん中の項があるなら完全平方、 $2$ 乗の差なら和と差の積、 $x^{2} + (和) x + (積)$ なら $2$ 数探し。

(3)は「かけて $- 18$ 、たして $- 3$ 」の $2$ 数を探す — 積が負なら $2$ 数は異符号、という符号の読みが決め手になる。

公式因数分解

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

(まん中が

2 ab

になっていれば完全平方)

(1) $25 = 5^{2}$ 、まん中の $10 x = 2 \cdot x \cdot 5$ に気づくと、 $(a + b)^{2}$ の形だとわかる。

$x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$

(x+5)² = x²+5x+5x+25 = x²+10x+25

(2) $9 a^{2} = (3 a)^{2}$ 、 $16 b^{2} = (4 b)^{2}$ なので、 $a^{2} - b^{2}$ の形。

$9 a^{2} - 16 b^{2} = (3 a + 4 b) (3 a - 4 b)$

(3) かけて $- 18$ (定数項)、たして $- 3$ ( $x$ の係数)になる2数を探す。 $- 6$ と $+ 3$ だ( $- 6 \times 3 = - 18$ 、 $- 6 + 3 = - 3$ )。

$x^{2} - 3 x - 18 = (x - 6) (x + 3)$

まとめ:2数を探すときは、まず積が $- 18$ になる組( $1 と - 18$ 、 $2 と - 9$ 、 $3 と - 6$ …)を書き出し、その中から和が $- 3$ になるものを選ぶとよい。

発展 — 一歩先へ。 「かけて $c$ 、たして $b$ 」の $2$ 数は、実は $2$ 次方程式 $t^{2} - b t + c = 0$ の解 — $2$ 次方程式を学ぶと、 $2$ 数探しは解の公式で機械的に求まる( $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ の解 $6, - 3$ が、そのまま因数 $(x - 6) (x + 3)$ の中身)。勘で探していた作業が、後の単元で完全に自動化される。

逆に言えば、因数分解は「 $2$ 次方程式を解いていた」— $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ の解が $x = 6, - 3$ であることを、因数分解は先取りしている。因数分解と方程式は同じ事実の表裏で、この対応が数Iの中心軸になる。

答

(1) $(x + 5)^{2}$ (2) $(3 a + 4 b) (3 a - 4 b)$ (3) $(x - 6) (x + 3)$

別解

(3)の $2$ 数探しを「勘」でなく、符号の推理 → 候補表の $2$ 段でやると確実になる。

符号の推理: 積 $- 18$ が負 → $2$ 数は異符号。和 $- 3$ が負 → 絶対値の大きい方がマイナス。

候補表(積が $18$ になる組を、大きい方をマイナスにして並べる):

組	和
$- 18, + 1$	$- 17$
$- 9, + 2$	$- 7$
$- 6, + 3$	$- 3$ ✓

$3$ 行目で命中 — $(x - 6) (x + 3)$ だ。

符号の推理を先にやると、候補が半分以下に絞れる(同符号の組を試さずに済む)。積が正なら「 $2$ 数は同符号、和の符号がその符号」— この $2$ 行のルールを持っていれば、 $2$ 数探しはほとんど機械作業になる。

検算は展開か、 $x = 1$ の代入で: 元の式は $1 - 3 - 18 = - 20$ 、答えは $(1 - 6) (1 + 3) = - 20$ ✓。

ポイント

因数分解は展開の逆。公式を逆向きに使う
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 、 $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
$x^{2} + (和) x + (積)$ は、かけて定数・たして $x$ の係数の2数を探す

よくある間違い

(3)で2数の符号を間違える(積が負なら、2数は異符号)
(2)を $(3 a - 4 b)^{2}$ などとする(和と差の積で、2乗ではない)
(1)を $(x + 5) (x - 5)$ とする(まん中に $+ 10 x$ があるので完全平方)